2010-福建卷文-22 解-三次函数切线单调与中心对称

本题导读

考查导数综合。$a=3$，$b=-2$；$m⩽3$，最大值 $3$；$g(x)=\frac{1}{3}{u}^3+2u+\frac{1}{3}+\frac{3}{u}$（$u=x-1$）关于 $Q\left(1,\frac{1}{3}\right)$ 中心对称，$Q$ 即所求。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+ax+b$ 的图象在点 $P(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=3x-2$.

(1) 求实数 $a$，$b$ 的值；

(2) 设 $g(x)=f(x)+\frac{m}{x-1}$ 是 $[2,+\infty )$ 上的增函数. ① 求实数 $m$ 的最大值； ② 当 $m$ 取最大值时，是否存在点 $Q$，使得过点 $Q$ 的直线若能与曲线 $y=g(x)$ 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=x^2-2x+a$，$f^{\prime }(0)=a=3$；$f(0)=b=-2$。
2. ① $g^{\prime }(x)=x^2-2x+3-\frac{m}{(x-1{)}^2}$。令 $t=(x-1{)}^2\in [1,+\infty )$：$x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2=t+2$。
3. $g^{\prime }(x)⩾0⟺t+2-\frac{m}{t}⩾0⟺m⩽t^2+2t$，在 $[1,+\infty )$ 上最小值 $3$，故 $m⩽3$，$m_{\max }=3$。
4. ② $m=3$ 时令 $u=x-1$：$g(x)=\frac{1}{3}{u}^3+2u+\frac{1}{3}+\frac{3}{u}$。
5. 记 $h(u)=\frac{1}{3}{u}^3+2u+\frac{3}{u}$，$h(-u)=-h(u)$ 为奇函数，曲线关于点 $\left(1,\frac{1}{3}\right)$ 中心对称。
6. 过对称中心 $Q$ 的直线在中心对称变换下不变，两封闭图形互相对称，面积总相等。故 $Q\left(1,\frac{1}{3}\right)$。

✅【答案】

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(1) $a=3$，$b=-2$

(2) ① $m$ 的最大值为 $3$；② 存在，$Q\left(1,\frac{1}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=x^2-2x+a$，$f(0)=b$. 由切线 $y=3x-2$ 知切线斜率为 $3$、截距为 $-2$， 故 $f^{\prime }(0)=a=3$，$f(0)=b=-2$. (2)① 当 $a=3$，$b=-2$ 时， $g^{\prime }(x)=x^2-2x+3-\frac{m}{(x-1{)}^2}.$ 令 $t=(x-1{)}^2$，则在 $x\in [2,+\infty )$ 上有 $t\in [1,+\infty )$，且 $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2=t+2$， 于是 $g^{\prime }(x)⩾0$ 等价于 $t+2-\frac{m}{t}⩾0$，即 $m⩽t^2+2t$（$t>0$）. 函数 $t^2+2t$ 在 $[1,+\infty )$ 上递增，最小值为 $3$，所以 $m⩽3$；且 $m=3$ 时确有 $g^{\prime }(x)⩾0$. 故 $m$ 的最大值为 $3$. ② 取 $m=3$，令 $u=x-1$，将 $g(x)$ 展开整理，得 $g(x)=\frac{1}{3}{u}^3+2u+\frac{1}{3}+\frac{3}{u}.$ 记 $h(u)=\frac{1}{3}{u}^3+2u+\frac{3}{u}$，则 $h(-u)=-h(u)$，为奇函数. 因此曲线 $y=g(x)$（在 $x\ne 1$ 上考察）关于点 $Q\left(1,\frac{1}{3}\right)$ 中心对称. 过中心对称点 $Q$ 的任意直线在中心对称变换下保持不变. 若该直线能与曲线围成两个封闭图形， 则中心对称变换将其中一个封闭图形映射为另一个封闭图形，并保持面积不变， 所以这两个封闭图形的面积总相等. 因此存在这样的点，$Q$ 的坐标为 $\left(1,\frac{1}{3}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线定参、恒成立最值与中心对称

核心方法：导数值定 $a$、函数值定 $b$；换元 $t=(x-1{)}^2$ 化 "$m⩽t^2+2t$"；奇函数化探对称中心

避坑指南：$m⩽t^2+2t$ 恒成立的最小值在 $t=1$ 处取得（$t\in [1,+\infty )$），不是 $t=0$；$g(x)$ 的对称中心 $(1,\frac{1}{3})$ 中纵坐标 $\frac{1}{3}$ 来自展开后的常数项，加减不能错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒成立求参的通法：分离参数后求目标函数最值，”$⩾0$ 恒成立”对 $t⩾1$ 全程成立。

结论推广：曲线 $y=g(x)$ 过 $Q$ 中心对称 $⟺$ 平移后所得函数为奇函数，换元 $u=x-1$ 是标准动作。

方法推广：过对称中心的直线与曲线围成的封闭图形成对出现，面积相等——这是”对称中心存在性”的几何价值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-21 解-导数极值与公共点
• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域
• 2009-湖南卷文-19 解-导数对称极值
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线