2010-福建卷理-06 单-线面位置

本题导读

本题考查空间点线面位置关系的判定及棱柱、棱台等立体几何体的基本结构特征。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 如图，若 $\Omega$ 是长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 被平面 $EFGH$ 截去几何体 $EFGH{B}_1{C}_1$ 后得到的几何体，其中 $E$ 为线段 $A_1{B}_1$ 上异于 $B_1$ 的点，$F$ 为线段 $B{B}_1$ 上异于 $B_1$ 的点，且 $EH\parallel A_1{D}_1$，则下列结论中不正确的是()

A. $EH\parallel FG$　　B. 四边形 $EFGH$ 是矩形　　C. $\Omega$ 是棱柱　　D. $\Omega$ 是棱台

🔍【思路分析】

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1. 由 $EH\parallel A_1{D}_1\parallel B_1{C}_1$ 结合线面平行性质定理推导 $EH\parallel FG$，判定 A 选项。
2. 由 $A_1{D}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ 推导 $EH\perp EF$，结合平行四边形判定 $EFGH$ 为矩形，判定 B 选项。
3. 观察几何体 $\Omega$ 的结构，分析前、后两面（五边形 $A_{1}AEFB$ 与 $D_{1}DHGC$）平行且全等、各侧棱平行的特征，判定 C 和 D 选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $EH\parallel A_1{D}_1$，且长方体中 $A_1{D}_1\parallel B_1{C}_1$，所以 $EH\parallel B_1{C}_1$。 又 $EH\subset$ 平面 $EFGH$，$B_1{C}_1\not\subset$ 平面 $EFGH$，故 $EH\parallel$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$。 平面 $EFGH\cap$ 平面 $BC{C}_1{B}_1=FG$，由线面平行性质定理得 $EH\parallel FG$。故 A 正确。

因为 $A_1{D}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，且 $EH\parallel A_1{D}_1$，所以 $EH\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。 又 $EF\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，所以 $EH\perp EF$。 结合 $EH\parallel FG$ 且 $EH=FG$，可知四边形 $EFGH$ 为矩形。故 B 正确。

几何体 $\Omega$ 的前、后两个面（平面 $A_{1}AEFB$ 与平面 $D_{1}DHGC$）互相平行且全等，其余各面均是平行四边形，且各侧棱（$A_1{D}_1,AD,BC,FG,EH$）互相平行。 根据棱柱的定义，$\Omega$ 是一个五棱柱。故 C 正确。

因为 $\Omega$ 是棱柱，其侧棱互相平行而不延长交于一点，故 $\Omega$ 不是棱台。故 D 错误。

本题要求选择不正确的选项。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的性质定理、线面垂直的性质、棱柱与棱台的概念判定。
2. 核心方法：利用立体几何公理与定理逐一推导。
3. 避坑指南：棱柱的底面不一定位于水平面上。本题中五边形 $A_{1}AEFB$ 和五边形 $D_{1}DHGC$ 为该五棱柱的前后两个底面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自必修二空间几何体结构特征中的截角与截块问题。
2. 结论推广: 长方体被平行于某条棱的平面截开，截面必为矩形，且截得的两部分几何体均构成棱柱。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

D

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2011-山东卷文-19 解-四棱台线面平行垂直