2010-福建卷理-15 填-函数

本题导读

本题为函数综合创新压轴填空题，考查利用递推关系 $f(2x)=2f(x)$ 推导函数在全定义域上的解析式，进而研究函数的零点、值域、特定点取值及单调性区间。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 已知定义域为 $(0,+\infty )$ 的函数 $f(x)$ 满足：

(1) 对任意 $x\in (0,+\infty )$，恒有 $f(2x)=2f(x)$ 成立；

(2) 当 $x\in (1,2]$ 时，$f(x)=2-x$. 给出结论如下： ① 对任意 $m\in \mathbf{Z}$，有 $f(2^m)=0$； ② 函数 $f(x)$ 的值域为 $[0,+\infty )$； ③ 存在 $n\in \mathbf{Z}$，使得 $f(2^n+1)=9$； ④ “函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上单调递减”的充分必要条件是“存在 $k\in \mathbf{Z}$，使得 $(a,b)\subseteq (2^k,2^{k+1})$”.

其中所有正确结论的序号是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(2x)=2f(x)$ 可推得 $f(2^{m}x)=2^{m}f(x)$，将区间 $(1,2]$ 上的解析式推广至任意区间 $(2^k,2^{k+1}]$。
2. 检验 ①：利用 $f(2)=0$ 计算 $f(2^m)$。
3. 检验 ②：求出各分段区间上的值域，求并集确定总值域。
4. 检验 ③：求出 $f(2^n+1)$ 的表达式，求解方程 $2^n-1=9$ 看是否有整数解。
5. 检验 ④：分析各分段区间内部及跨分界点 $2^k$ 处的单调性，验证充要条件。

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①②④

✍【详细解析】

Abstract

推导分段解析式： 当 $x\in (2^k,2^{k+1}]$ ($k\in \mathbf{Z}$) 时，$\frac{x}{2^k}\in (1,2]$。 由 $f(x)=2^{k}f\left(\frac{x}{2^k}\right)$ 得： $f(x)=2^k\left(2-\frac{x}{2^k}\right)=2^{k+1}-x$

逐项判定：

• 对于 ①： 取 $x=2\in (1,2]$，则 $f(2)=2-2=0$。 由递推关系，对任意 $m\in \mathbf{Z}$，有 $f(2^m)=2^{m-1}f(2)=0$。故 ① 正确。

• 对于 ②： 在每个区间 $(2^k,2^{k+1}]$ 上，当 $x\in (2^k,2^{k+1}]$ 时，$f(x)=2^{k+1}-x\in [0,2^k)$。 取遍所有 $k\in \mathbf{Z}$，并集为 $[0,+\infty )$。故函数 $f(x)$ 的值域为 $[0,+\infty )$。故 ② 正确。

• 对于 ③： 对于 $n\ge 1$，$2^n+1\in (2^n,2^{n+1})$，此时 $k=n$。 代入解析式得：$f(2^n+1)=2^{n+1}-(2^n+1)=2^n-1$。 若 $f(2^n+1)=9$，则 $2^n-1=9⟹2^n=10$，由于 $n\in \mathbf{Z}$，此方程无整数解。 当 $n\le 0$ 时，$2^n+1\in (1,2]$，同理无解。故 ③ 错误。

• 对于 ④： 充分性：若 $(a,b)\subseteq (2^k,2^{k+1})$，在此区间内 $f(x)=2^{k+1}-x$，为一次减函数，故 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上必单调递减； 必要性：若 $(a,b)$ 包含分界点 $2^k$，当 $x\to (2^k{)}^{-}$ 时 $f(x)\to 0$，而当 $x\in (2^k,2^{k+1})$ 时 $f(x)>0$，函数在 $x=2^k$ 处发生向上跳变，破坏单调性。故单调递减区间必完全包含于某个 $(2^k,2^{k+1})$ 内。故 ④ 正确。

综上所述，正确结论的序号是 ①②④。

故答案为 ①②④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的递推性质、分段函数解析式推导、值域与单调性分析。
2. 核心方法：区间转移法（将一般区间变量归结到已知区间 $(1,2]$）。
3. 避坑指南：第 ④ 项中注意分界点 $x=2^k$ 处的左极限为 $0$，右侧取值大于 $0$，跳变导致跨区间的区间不满足单调递减。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 来源于高等数学中自相似函数与分形函数的初等化呈现。
2. 结论推广: 满足 $f(cx)=cf(x)$ ($c>1$) 的函数称为同次齐次函数，其性质在以 $c^k$ 为端点的区间上呈现周期性放大/缩小特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性