2010-福建卷理-19 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形在实际测量与航海追及问题中的应用，涉及余弦定理求距离最值以及基于正弦定理的航行方案设计。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 某港口 $O$ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 $O$ 北偏西 $30^{\circ }$ 且与该港口相距 $20$ 海里的 $A$ 处，并以 $30$ 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 $v$ 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 $t$ 小时与轮船相遇.

(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 $30$ 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 建构几何模型：在 $△OAB$ 中，点 $A$ 为轮船初始位置，$OA=20$，$\angle AOB$ 的角度可根据北偏西 $30^{\circ }$ 计算。设相遇点为 $B$，则轮船航程 $AB=30t$，小艇航程 $OB=vt$。
2. 对于 (1)：当 $OB$ 最小即为点 $O$ 到直线 $AB$ 的垂线段长时，利用直角三角形求出最小 $OB$，进而由轮船到达垂足所需时间 $t$ 求得 $v$。
3. 对于 (2)：在 $△OAB$ 中利用余弦定理列出关于 $t$ 的方程，分析时间 $t$ 关于速度 $v$ 的单调性，得出当 $v$ 达到最大值 $30$ 海里/小时时 $t$ 最小，进而求出此时的航向。

✅【答案】

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（1）30√3海里/小时；（2）航行方向为北偏东30∘，航行速度为30海里/小时.

✍【详细解析】

Abstract

如图，设小艇与轮船在点 $B$ 处相遇。 由题意，$OA=20$，轮船沿正东方向行驶，航速为 $30$ 海里/小时，则 $AB=30t$（$t>0$）。 小艇从港口 $O$ 直线驶向 $B$，航速为 $v$ 海里/小时，则 $OB=vt$。

由于 $A$ 在 $O$ 的北偏西 $30^{\circ }$ 方向，轮船向正东航行， 所以在 $△OAB$ 中，$\angle OAB=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$。

(1) 解： 要使相遇时小艇航速 $OB$ 距离最小，即求点 $O$ 到直线 $AB$ 的最短距离。 过点 $O$ 作 $OB\perp AB$ 于点 $B$。

在 Rt$△OAB$ 中，$\angle OAB=60^{\circ }$，$OA=20$：

• 最小航程 $OB=OA\cdot \sin 60^{\circ }=20\times \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ 海里；
• 此时轮船航程 $AB=OA\cdot \cos 60^{\circ }=20\times \frac{1}{2}=10$ 海里。

因为 $AB=30t=10$，解得相遇时间 $t=\frac{1}{3}$ 小时。 由 $OB=vt=10\sqrt{3}$，解得小艇速度： $v=\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}=30\sqrt{3}\text{ 海里/小时}$

答：小艇航行速度的大小应为 $30\sqrt{3}$ 海里/小时。

(2) 解： 在 $△OAB$ 中，由余弦定理得： $O{B}^2=O{A}^2+A{B}^2-2OA\cdot AB\cos \angle OAB$

代入 $OA=20,AB=30t,OB=vt,\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 得： $(vt{)}^2=20^2+(30t{)}^2-2\times 20\times 30t\times \frac{1}{2}$ $v^2{t}^2=400+900t^2-600t$

两边同除以 $t^2$（$t>0$），整理得： $v^2=\frac{400}{t^2}-\frac{600}{t}+900=400{\left(\frac{1}{t}-\frac{3}{4}\right)}^2+675$

因为小艇最高航速 $v\le 30$，所以： $v^2\le 900⟹400{\left(\frac{1}{t}-\frac{3}{4}\right)}^2+675\le 900$ $400{\left(\frac{1}{t}-\frac{3}{4}\right)}^2\le 225⟹\left|\frac{1}{t}-\frac{3}{4}\right|\le \frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

解得： $0\le \frac{1}{t}\le \frac{3}{2}⟹t\ge \frac{2}{3}$

即最短相遇时间为 $t_{\min }=\frac{2}{3}$ 小时。 当且仅当 $v$ 取最大值 $30$ 海里/小时（即 $v^2=900$）时，时间 $t$ 达到最小。

此时：

• 小艇航程 $OB=30\times \frac{2}{3}=20$ 海里；
• 轮船航程 $AB=30\times \frac{2}{3}=20$ 海里。

因为 $OA=OB=AB=20$，所以 $△OAB$ 为等边三角形，$\angle AOB=60^{\circ }$。 因为 $OA$ 的方向为北偏西 $30^{\circ }$， 所以 $OB$ 的方向为北偏东 $60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$（即北偏东 $30^{\circ }$）。

航行方案设计： 小艇应以最大速度 $30$ 海里/小时，沿北偏东 $30^{\circ }$ 方向航行，经过 $\frac{2}{3}$ 小时（40分钟）与轮船相遇。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理在实际测量问题中的应用、函数最值与不等式求解。
2. 核心方法：

• 第一问利用垂线段最短及直角三角形边角关系直接求解；
• 第二问构造 $v^2$ 关于 $\frac{1}{t}$ 的二次函数，利用自变量限制条件求得最小时间 $t$。

3. 避坑指南：第 (2) 问确定航行方案时，不仅要写出速度大小，还要写明具体的方位角（航向）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于必修五解三角形章节中经典“追及与拦截航向”应用题。
2. 结论推广: 设目标速度为 $v_1$，追击者最大速度为 $v_2$（$v_2<v_1$），追击者能够拦截到目标的最短时间取决于追击者以全速 $v_2$ 航行时的方位角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数