2010-辽宁卷文-07 单-抛物线定义求焦半径

本题导读

考查抛物线定义。$A(-2,y_P)$，斜率条件得 $y_P=4\sqrt{3}$，$x_P=6$，$|PF|=x_P+2=8$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 设抛物线 $y^2=8x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$P$ 为抛物线上一点，$PA\perp l$，$A$ 为垂足.如果直线 $AF$ 的斜率为 $-\sqrt{3}$，那么 $|PF|=$()

A. $4\sqrt{3}$　　　　　　　B. $8$　　　　　　　C. $8\sqrt{3}$　　　　　　　D. $16$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $F(2,0)$，准线 $x=-2$，$A(-2,y_P)$。
2. $k_{AF}=\frac{y_P-0}{-2-2}=-\frac{y_P}{4}=-\sqrt{3}\Rightarrow y_P=4\sqrt{3}$。
3. $x_P=\frac{y_P^2}{8}=6$。
4. $|PF|=|PA|=x_P+2=8$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=8x$ 中 $2p=8$，焦点 $F(2,0)$，准线 $l:x=-2$。 设 $P(x_0,y_0)$，则 $A(-2,y_0)$。 由直线 $AF$ 的斜率： $\frac{y_0-0}{-2-2}=-\sqrt{3}\Rightarrow y_0=4\sqrt{3}.$ 代入抛物线方程：$x_0=\frac{y_0^2}{8}=\frac{48}{8}=6$。 由抛物线的定义， $|PF|=|PA|=x_0+\frac{p}{2}=6+2=8.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义与焦半径

核心方法：斜率条件定 $P$ 点，$|PF|=x_0+\frac{p}{2}$

避坑指南：准线是 $x=-2$ 不是 $x=-4$（$2p=8$，$\frac{p}{2}=2$）；$A$ 与 $P$ 纵坐标相同（$PA$ 水平），斜率公式分母是 $-2-2=-4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线上点到焦点的距离 $=$ 到准线的距离，是求 $|PF|$ 的第一选择。

结论推广：$y^2=2px$：焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$。

方法推广：已知斜率求点坐标：先设点再用斜率公式列方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距
• 2009-大纲卷II文-11 单-抛物线焦半径定斜率
• 2011-新课标卷文-09 单-抛物线焦点弦面积
• 2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径