2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径

本题导读

本题考查抛物线的标准方程，以及焦点弦与焦半径。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 已知抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在坐标原点 $O$，并且经过点 $M(2,y_0)$. 若点 $M$ 到该抛物线焦点的距离为 $3$，则 $|OM|=$()

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $2\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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抛物线 $y^2=4px$ 上点 $M(2,y_0)$ 到焦点距离 $=2+p=3\Rightarrow p=1$；$y_0^2=8$，$|OM|=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由对称性与顶点位置，设抛物线为 $y^2=4px$（$p>0$），焦点 $F(p,0)$，准线 $x=-p$。

由抛物线定义，$M(2,y_0)$ 到焦点的距离等于它到准线的距离：$2+p=3$，故 $p=1$。

$M$ 在抛物线上：$y_0^2=4p\times 2=8$。

$|OM|=\sqrt{2^2+y_0^2}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义（到焦点距离 = 到准线距离）；焦半径公式 $x_0+p$

核心方法：焦半径 $=$ 横坐标 $+p$，一步定 $p$；再由点在曲线上求纵坐标

避坑指南：抛物线开口方向未知时需先由”经过 $M(2,y_0)$ 且 $M$ 到焦点距离为 $3>2$“判断开口向右（若开口向左则 $2+p$ 不适用）；$|OM|$ 用 $y_0^2$ 而非 $y_0$，不必开方求 $y_0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点距离题，与 2013 年四川卷文第 5 题、2013 年新课标Ⅱ文第 10 题同族。

结论推广：$y^2=2px$（$p>0$）上点 $(x_0,y_0)$ 的焦半径为 $x_0+\frac{p}{2}$；通径长 $2p$，顶点弦最短。

方法推广：抛物线题优先用定义（焦点—准线距离相等）转化，避免直接解二次方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦
• 2014-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦