2010-辽宁卷文-15 填-线性规划求范围

本题导读

考查不等式求范围。$2x-3y=-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{5}{2}(x-y)$，得 $z\in (3,8)$。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 已知 $-1<x+y<4$ 且 $2<x-y<3$，则 $z=2x-3y$ 的取值范围是 $\underline{}$.（答案用区间表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $2x-3y=\alpha (x+y)+\beta (x-y)$，解得 $\alpha =-\frac{1}{2}$，$\beta =\frac{5}{2}$。
2. $-1<x+y<4\Rightarrow -2<-\frac{1}{2}(x+y)<\frac{1}{2}$。
3. $2<x-y<3\Rightarrow 5<\frac{5}{2}(x-y)<\frac{15}{2}$。
4. 相加：$3<z<8$。

✅【答案】

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$(3,8)$

✍【详细解析】

Abstract

设 $2x-3y=\alpha (x+y)+\beta (x-y)$，比较系数： $\alpha +\beta =2,\alpha -\beta =-3\Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2},\beta =\frac{5}{2}.$ 即 $z=-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{5}{2}(x-y).$ 由 $-1<x+y<4$，得 $-2<-\frac{1}{2}(x+y)<\frac{1}{2};$ 由 $2<x-y<3$，得 $5<\frac{5}{2}(x-y)<\frac{15}{2}.$ 两式相加： $3<z<8,$ 即 $z$ 的取值范围是 $(3,8)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元不等式组求代数式范围

核心方法：待定系数拆成 $x+y$ 与 $x-y$ 的组合

避坑指南：不能对 $x,y$ 分别求范围再代入（会放大）；$-1<x+y<4$ 乘 $-\frac{1}{2}$ 要变号；严格不等式对应开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：整体代换（换元 $u=x+y,v=x-y$）把斜区域变成矩形区域。

结论推广：同向不等式相加是合法的，反向要先用负数变向。

方法推广：此类题本质是线性规划：目标函数的最值在顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2012-山东卷文-06 单-线性规划取值范围
• 2012-浙江卷文-14 填-线性规划取值范围