2012-山东卷文-06 单-线性规划取值范围

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y⩾2,\\ 2x+y⩽4,\\ 4x-y⩾-1,\end{array}$ 则目标函数 $z=3x-y$ 的取值范围是()

A. $\left[-\frac{3}{2},6\right]$　　　B. $\left[-\frac{3}{2},-1\right]$　　　C. $[-1,6]$　　　D. $\left[-6,\frac{3}{2}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

可行域的三个顶点为 $(2,0)$、$(0,1)$、$\left(\frac{1}{2},3\right)$，$z=3x-y$ 的取值范围是 $\left[-\frac{3}{2},6\right]$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

三条直线两两相交得可行域的顶点：

$x+2y=2$ 与 $2x+y=4$ 交于 $(2,0)$；

$x+2y=2$ 与 $4x-y=-1$ 交于 $(0,1)$；

$2x+y=4$ 与 $4x-y=-1$ 交于 $\left(\frac{1}{2},3\right)$。

线性目标函数在可行域上的最值必在顶点处取得，代入：

$z(2,0)=6$，$z(0,1)=-1$，$z\left(\frac{1}{2},3\right)=\frac{3}{2}-3=-\frac{3}{2}$。

故 $z$ 的取值范围是 $\left[-\frac{3}{2},6\right]$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性目标函数的值域（最值）

核心方法：联立边界方程求顶点，把目标函数在顶点处的值作为端点评估值域

避坑指南：目标函数是取”值域”而非单侧最值，必须同时给出最大与最小两个端点；$4x-y⩾-1$ 中的 $-1$ 易抄成 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划入口题，与 2013 年山东卷文第 14 题、2012 年天津卷文第 2 题同族。

结论推广：线性目标函数 $z=ax+by$ 在可行域（有界多边形）上的取值范围为 $[\min ,\max ]$，两端点均在顶点处取得。

方法推广：线性规划三步：画直线定区域 → 联立求顶点 → 代点比较目标函数值并写出取值区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-14 填-线性规划距离
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2012-天津卷文-02 单-线性规划最值