2010-辽宁卷文-18 解-直方图与独立性检验

本题导读

考查统计综合。(1) 直方图矩形高 A 组 $0.06,0.08,0.04,0.02$，B 组 $0.02,0.05,0.04,0.06,0.03$；B 的中位数较大；(2) $K^2\approx 24.56>10.828$，有 $99.9\%$ 把握认为有差异。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 为了比较注射 $A,B$ 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 $200$ 只家兔做试验，将这 $200$ 只家兔随机地分成两组，每组 $100$ 只，其中一组注射药物 $A$，另一组注射药物 $B$.下表 1 和表 2 分别是注射药物 $A$ 和 $B$ 后的试验结果（疱疹面积单位：mm${}^2$）. 表 1（注射药物 $A$）：疱疹面积 $[60,65),[65,70),[70,75),[75,80)$ 的频数依次为 $30,40,20,10$； 表 2（注射药物 $B$）：疱疹面积 $[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85)$ 的频数依次为 $10,25,20,30,15$.

(1) 完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

(2) 完成下面 $2\times 2$ 列联表，并回答能否有 $99.9\%$ 的把握认为”注射药物 $A$ 后的疱疹面积与注射药物 $B$ 后的疱疹面积有差异”. 附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$；$P(K^2⩾10.828)=0.001$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每组容量 $100$、组距 $5$，矩形高 $=$ 频数 $÷500$。
2. A 累计频数 $30,70,\cdots$，中位数在 $[65,70)$；B 累计 $10,35,55,\cdots$，中位数在 $[70,75)$。
3. $a=70,b=30,c=35,d=65,n=200$。
4. $K^2=\frac{200(70\times 65-30\times 35{)}^2}{100\times 100\times 105\times 95}\approx 24.56>10.828$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 图见解析，注射药物 $B$ 后疱疹面积的中位数较大

(2) $a=70,b=30,c=35,d=65$；$K^2\approx 24.56>10.828$，能有 $99.9\%$ 的把握认为有差异

✍【详细解析】

Abstract

(1) 每组组距为 $5$，样本数为 $100$，故直方图纵坐标（频率/组距）$=$ 频数 $÷500$。 注射药物 $A$ 的四组矩形高依次为 $\frac{30}{500}=0.06,\frac{40}{500}=0.08,\frac{20}{500}=0.04,\frac{10}{500}=0.02;$ 注射药物 $B$ 的五组矩形高依次为 $\frac{10}{500}=0.02,\frac{25}{500}=0.05,\frac{20}{500}=0.04,\frac{30}{500}=0.06,\frac{15}{500}=\mathrm{0.03.}$ 按此补全两幅直方图即可。 注射药物 $A$ 的累计频数为 $30,70,90,100$，中位数落在 $[65,70)$ 内； 注射药物 $B$ 的累计频数为 $10,35,55,85,100$，中位数落在 $[70,75)$ 内。 所以注射药物 $B$ 后疱疹面积的中位数较大。 (2) 由频数表： $a=30+40=70,b=20+10=30,c=10+25=35,d=20+30+15=65,$ 行合计均为 $100$，列合计为 $105$ 与 $95$，$n=200$。 $K^2=\frac{200\times (70\times 65-30\times 35{)}^2}{100\times 100\times 105\times 95}=\frac{200\times 3500^2}{99750000}\approx \mathrm{24.56.}$ 因为 $24.56>10.828$， 所以能有 $99.9\%$ 的把握认为注射两种药物后的疱疹面积有差异。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布直方图与独立性检验

核心方法：矩形高 $=$ 频数 $÷$（容量 $\times$ 组距）；$K^2$ 套公式比临界值

避坑指南：中位数看累计频数过半落在哪一组，不是看最高的矩形；$K^2$ 计算中 $ad-bc=3500$，平方前别把 $a,b,c,d$ 的位置放错（$a,d$ 同对角）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直方图纵坐标是频率/组距，矩形面积才是频率。

结论推广：独立性检验的表述规范：“有 $99.9\%$ 的把握认为……有差异”。

方法推广：列联表的行合计、列合计是验算 $K^2$ 的保险。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-20 解-独立性检验优质品率
• 2009-浙江卷文-14 填-频率分布直方图
• 2011-湖南卷文-05 单-独立性检验
• 2009-湖北卷文-15 填-频率分布直方图