2010-辽宁卷文-21 解-导数单调性与不等式证明

本题导读

考查导数综合。(1) $a⩾0$ 递增，$a⩽-1$ 递减，$-1<a<0$ 先增后减；(2) 由基本不等式得 $f^{\prime }(x)⩽-4$，$g(x)=f(x)+4x$ 递减即证。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=(a+1)\ln x+a{x}^2+1$.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

(2) 设 $a⩽-2$，证明：对任意 $x_1,x_2\in (0,+\infty )$，$|f(x_1)-f(x_2)|⩾4|x_1-x_2|$.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=\frac{a+1+2a{x}^2}{x}$（$x>0$）。
2. $a⩾0$：分子恒正，递增；$a⩽-1$：分子恒负，递减；$-1<a<0$：零点 $x_0=\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，先增后减。
3. (2) $a⩽-2$ 时 $-f^{\prime }(x)=\frac{-(a+1)}{x}+(-2a)x⩾2\sqrt{2a(a+1)}⩾4$。
4. 设 $g(x)=f(x)+4x$，$g^{\prime }(x)⩽0$，$g$ 递减，不妨 $x_1<x_2$ 即得 $|f(x_1)-f(x_2)|⩾4|x_1-x_2|$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 定义域 $(0,+\infty )$， $f^{\prime }(x)=\frac{a+1}{x}+2ax=\frac{a+1+2a{x}^2}{x}.$ ①当 $a⩾0$ 时，$a+1+2a{x}^2>0$，$f^{\prime }(x)>0$， $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增； ②当 $a⩽-1$ 时，$a+1+2a{x}^2<0$，$f^{\prime }(x)<0$， $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减； ③当 $-1<a<0$ 时，令 $a+1+2a{x}^2=0$，得 $x_0=\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$， $x\in (0,x_0)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$x\in (x_0,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)<0$， 故 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递增，在 $(x_0,+\infty )$ 上单调递减。 (2) 当 $a⩽-2$ 时，由 (1) 知 $f$ 单调递减，且 $-f^{\prime }(x)=\frac{-(a+1)}{x}+(-2a)x⩾2\sqrt{(-(a+1))\cdot (-2a)}=2\sqrt{2a(a+1)}.$ 因为 $a⩽-2$，$a(a+1)⩾2$，故 $-f^{\prime }(x)⩾2\sqrt{4}=4$，即 $f^{\prime }(x)⩽-4(x>0).$ 构造函数 $g(x)=f(x)+4x$，则 $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+4⩽0,$ $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 不妨设 $x_1<x_2$，则 $g(x_1)⩾g(x_2)$，即 $f(x_1)+4x_1⩾f(x_2)+4x_2\Rightarrow f(x_1)-f(x_2)⩾4(x_2-x_1).$ 又 $f$ 递减，$f(x_1)⩾f(x_2)$，故 $|f(x_1)-f(x_2)|=f(x_1)-f(x_2)⩾4(x_2-x_1)=4|x_1-x_2|.$ $x_1=x_2$ 时两边均为 $0$，不等式成立。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参函数单调性讨论与不等式证明

核心方法：分子 $a+1+2a{x}^2$ 按 $a$ 三分；证明题构造 $g(x)=f(x)+4x$

避坑指南：讨论时 $a=0$ 与 $a=-1$ 是两个分界，$-1<a<0$ 的零点 $x_0=\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$ 根号内为正才合法；第 (2) 问 $2\sqrt{2a(a+1)}$ 中 $a(a+1)⩾2$ 的放缩方向要核对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$|f(x_1)-f(x_2)|⩾k|x_1-x_2|$ 型不等式等价于 $f(x)\pm kx$ 的单调性。

结论推广：含 $\ln x$ 的函数定义域 $(0,+\infty )$ 先写再求导。

方法推广：分类讨论收尾要”综上”合并表述。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-辽宁卷文-21 解-导数切线单调与放缩
• 2011-陕西卷文-21 解-对数导数单调比较恒成立
• 2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性