2009-辽宁卷文-21 解-导数切线单调与放缩

本题导读

考查导数综合。$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x\left[-x^2+(2a+1)x+2\right]$，$f^{\prime }(1)=0$ 得 $a=-1$；减区间 $(-\infty ,-2)$、$(1,+\infty )$，增区间 $(-2,1)$。（2）$|f(\cos \theta )-f(\sin \theta )|⩽f(1)-f(0)=\mathrm{e}-1<2$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 设 $f(x)={\mathrm{e}}^x(a{x}^2+x+1)$，且曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与 $x$ 轴平行.

(1)求 $a$ 的值，并讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2)证明：当 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$|f(\cos \theta )-f(\sin \theta )|<2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x\left[a{x}^2+(2a+1)x+2\right]$，$f^{\prime }(1)=0\Rightarrow 3a+3=0$，$a=-1$。
2. $a=-1$ 时 $f^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^x(x+2)(x-1)$：$(-\infty ,-2)$ 减、$(-2,1)$ 增、$(1,+\infty )$ 减。
3. $[0,1]$ 上 $f$ 增，故任取 $x_1,x_2\in [0,1]$：$|f(x_1)-f(x_2)|⩽f(1)-f(0)=\mathrm{e}-1$。
4. $\mathrm{e}={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}<1+1+{\sum }_{k=2}^{\infty }\frac{1}{2^{k-1}}=3$，故 $\mathrm{e}-1<2$。$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $\cos \theta ,\sin \theta \in [0,1]$。

✅【答案】

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(1) $a=-1$；$f(x)$ 在 $(-\infty ,-2)$，$(1,+\infty )$ 上单调减少，在 $(-2,1)$ 上单调增加。(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(a{x}^2+x+1)+{\mathrm{e}}^x(2ax+1)={\mathrm{e}}^x\left[a{x}^2+(2a+1)x+2\right]$。 由曲线在 $x=1$ 处的切线与 $x$ 轴平行，得 $f^{\prime }(1)=0$。由 $\mathrm{e}\ne 0$：$a+(2a+1)+2=0$，即 $a=-1$。 此时 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(-x^2-x+2)=-{\mathrm{e}}^x(x+2)(x-1)$。 由 ${\mathrm{e}}^x>0$：当 $x\in (-\infty ,-2)\cup (1,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；当 $x\in (-2,1)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-2)$，$(1,+\infty )$ 上单调减少，在 $(-2,1)$ 上单调增加。 （2）由（1），$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调增加，且 $f(0)=1$，$f(1)=\mathrm{e}$。 因此对任意 $x_1,x_2\in [0,1]$，有 $|f(x_1)-f(x_2)|⩽f(1)-f(0)=\mathrm{e}-1$。 以下说明 $\mathrm{e}<3$：由 $\mathrm{e}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}<1+1+\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{2^{k-1}}=1+1+1=3$，故 $\mathrm{e}-1<2$。 当 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$\cos \theta$，$\sin \theta \in [0,1]$，代入上式得 $|f(\cos \theta )-f(\sin \theta )|⩽\mathrm{e}-1<2$，命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义、单调性与放缩

核心方法：$f^{\prime }(1)=0$ 定参 + 值域夹逼

避坑指南：$\mathrm{e}<3$ 的证明用级数放缩：$\mathrm{e}=\sum \frac{1}{k!}<1+1+\sum \frac{1}{2^{k-1}}=3$；（2）的关键是把两点都锁进单调区间 $[0,1]$，再用 $f(1)-f(0)$ 封顶。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线水平定参 + 单调性 + 区间值域夹逼是导数解答题经典结构。

结论推广：$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x\left[a{x}^2+(2a+1)x+2\right]$，求导用乘法法则。

方法推广：$|f(x_1)-f(x_2)|⩽$ 区间最大值差 $f(1)-f(0)$，再单独放缩常数 $\mathrm{e}-1<2$ 收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2011-浙江卷文-10 单-极值点与函数图象