2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性

本题导读

考查导数应用。(1) $f(0)=b=0$，$f^{\prime }(0)=-a(a+2)=-3$ 得 $a=-3$ 或 $1$；(2) 两根 $a$ 与 $-\frac{a+2}{3}$ 落入 $(-1,1)$，并集 $(-5,1)$，排除重根 $a=-\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b$（$a$，$b\in \mathbf{R}$）.

(1) 若函数 $f(x)$ 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 $-3$，求 $a$，$b$ 的值；

(2) 若函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上不单调，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) $b=0$ 且 $f^{\prime }(0)=-a(a+2)=-3$。
2. (2) $f^{\prime }(x)=(x-a)(3x+a+2)$，两根 $x_1=a$，$x_2=-\frac{a+2}{3}$。
3. 不单调 $\iff$ 两根之一在 $(-1,1)$ 内：$a\in (-1,1)$ 或 $a\in (-5,1)$，并集 $(-5,1)$；
4. $a=-\frac{1}{2}$ 时两根重合，$f^{\prime }(x)⩾0$ 恒成立仍单调，排除。

✅【答案】

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(1) $a=-3$ 或 $a=1$，$b=0$；(2) $a\in \left(-5,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图象过原点得 $f(0)=b=0$。 $f^{\prime }(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)$，由切线斜率为 $-3$ 得 $f^{\prime }(0)=-a(a+2)=-3$， 即 $a^2+2a-3=0$，解得 $a=1$ 或 $a=-3$。 故 $a=-3$ 或 $a=1$，$b=0$。 (2) $f^{\prime }(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)(3x+a+2)$，两根为 $x_1=a$，$x_2=-\frac{a+2}{3}$。 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上不单调，当且仅当 $f^{\prime }(x)$ 在 $(-1,1)$ 内存在变号零点。 $x_1=a\in (-1,1)\iff a\in (-1,1)$；$x_2=-\frac{a+2}{3}\in (-1,1)\iff a\in (-5,1)$。 并集为 $(-5,1)$。但当 $a=-\frac{1}{2}$ 时，$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$（重根），此时 $f^{\prime }(x)=3{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2⩾0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上单调，应排除。 所以 $a$ 的取值范围是 $\left(-5,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2},1\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与单调性

核心方法：切线条件定参 + 变号零点刻画不单调

避坑指南：“在区间上不单调” $⟺$ $f^{\prime }$ 在区间内有变号零点：两根 $a$ 与 $-\frac{a+2}{3}$ 至少一根落 $(-1,1)$，并集 $(-5,1)$；$a=-\frac{1}{2}$ 时双根重合不变号要剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数切线与单调性是导数解答题基础模板。

结论推广：$f^{\prime }(x_0)=k_0$ 且切点在曲线上，两条件联立定参。

方法推广：判断单调性看 $f^{\prime }$ 符号是否恒定：重根（平方型因子）不改变符号，函数仍单调。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2011-天津卷文-19 解-导数切线单调与零点
• 2009-辽宁卷文-21 解-导数切线单调与放缩