2010-辽宁卷理-05 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象平移变换与周期性的几何关系，重点在于将“平移后与原图象重合”转化为平移距离为周期的整数倍关系。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理5）设 $\omega >0$，函数 $y=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)+2$ 的图象向右平移 $\frac{4\pi }{3}$ 个单位后与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值是()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　　B. $\frac{4}{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 根据“左加右减”原则，写出平移后的函数解析式。
2. 平移后与原图象重合，说明平移的距离 $\frac{4\pi }{3}$ 是该函数周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 的正整数倍（或相位差为 $2k\pi$）。
3. 列出关于 $\omega$ 的方程，求出满足 $\omega >0$ 的最小值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 将函数 $y=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)+2$ 的图象向右平移 $\frac{4\pi }{3}$ 个单位，得到函数： $y=\sin \left[\omega \left(x-\frac{4\pi }{3}\right)+\frac{\pi }{3}\right]+2=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}-\frac{4\pi }{3}\omega \right)+2$

要使平移后的图象与原图象重合，需满足： $\frac{4\pi }{3}\omega =2k\pi (k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

解得： $\omega =\frac{3k}{2}(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

因为 $\omega >0$，取 $k=1$ 时，$\omega$ 取得最小值： ${\omega }_{\text{min}}=\frac{3}{2}$

故选 C>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的平移变换性质。
2. 核心方法：

• 相位法：平移量乘以 $\omega$ 必须为 $2\pi$ 的整数倍；
• 周期法：平移距离 $\Delta x=kT=k\cdot \frac{2\pi }{\omega }$。

3. 避坑指南：平移变换是对变量 $x$ 本身进行替换，即 $x\to x-\frac{4\pi }{3}$，切不可错写为 $\omega x-\frac{4\pi }{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中三角函数图象平移变换与周期性的基础性质应用。
2. 结论推广：函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 图象向左/右平移 $d$ 个单位后与原图象重合的充要条件是 $\omega d=2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数