2010-辽宁卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理通项公式的应用，通过多项式相乘后的指数运算确定常数项的组成。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理13）$(1+x+x^2){\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中的常数项为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出因式 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$ 的二项式展开通项公式 $T_{r+1}$。
2. 将多项式 $(1+x+x^2)$ 的三项分别与通项相乘，确定能构成 $x^0$ 项（即指数为 0）的 $r$ 值。
3. 计算各对应项系数并求和。

✅【答案】

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$-5$

✍【详细解析】

Abstract

解： 二项式 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式通项为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r{x}^{6-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_6^r{x}^{6-2r}(r=0,1,2,\dots ,6)$

要求 $(1+x+x^2){\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$ 展开式中的常数项，拆分为三项考虑：

1. $1\cdot x^{6-2r}$：令 $6-2r=0⟹r=3$。 此时常数项为 $1\times (-1{)}^3{\mathrm{C}}_6^3=-20$。
2. $x\cdot x^{6-2r}=x^{7-2r}$：令 $7-2r=0⟹r=\frac{7}{2}\notin \mathbb{Z}$，无解。 此时常数项为 $0$。
3. $x^2\cdot x^{6-2r}=x^{8-2r}$：令 $8-2r=0⟹r=4$。 此时常数项为 $1\times (-1{)}^4{\mathrm{C}}_6^4=15$。

合并可得展开式中的常数项为： $-20+0+15=-5$

故答案为：$-5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：多项式乘法与二项式定理结合时，分别求出各部分能匹配成常数项的因式。
3. 避坑指南：注意正负号 $(-1{)}^r$ 的保留，避免符号出错；注意 $r$ 必须为整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中二项式定理的经典拓展应用，考查指数基本运算与组合数的结合。
2. 结论推广：对 $(P(x))(a{x}^m+b{x}^n{)}^k$，展开后特定次数项可由 $P(x)$ 各单项式次数与二项式通项次数解方程累加获得。

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理