2010-辽宁卷理-15 填-三视图

本题导读

本题考查由三视图还原立体图形的能力。核心在于根据主视图、左视图和俯视图准确定位几何体各顶点的空间坐标，并计算最长棱的长度。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理15）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由俯视图（边长为 2 的正方形及对角线）与主、左视图（底边长为 2、高为 2 的直角三角形）可知，该几何体为四棱锥。
2. 将四棱锥放入边长为 2 的正方体中，建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标。
3. 分别计算各棱长，找出最长的棱长。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥 $P-ABCD$。 底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形，高为 $2$。

以正方形底面所在平面为 $xy$ 平面，顶点所在直角角顶点为坐标原点，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 底面各顶点坐标为： $A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)$

顶点 $P$ 投射在坐标轴上的位置为 $P(2,0,2)$。

计算四棱锥各棱长：

• 底面四条棱：$AB=BC=CD=DA=2$；
• 侧棱 $PB=\sqrt{(2-2{)}^2+(0-0{)}^2+(2-0{)}^2}=2$；
• 侧棱 $PA=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-0{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
• 侧棱 $PC=\sqrt{(2-2{)}^2+(0-2{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
• 侧棱 $PD=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-2{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

对比所有棱长，最长的一条棱为 $PD$，其长度为 $2\sqrt{3}$。

故答案为：$2\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体直观图、空间直角坐标系与两点间距离公式。
2. 核心方法：将三视图构筑在正方体网格模型中，确定关键顶点坐标直接求模。
3. 避坑指南：看俯视图对角线时注意顶点 $P$ 投射到底面的具体对应点（是在角顶上还是对角线上），避免侧棱长度算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查高中立体几何三视图识别基本功，空间长方体截取多面体是高考常见设题背景。
2. 结论推广：在边长为 $a$ 的正方体中截取的长宽高分别为 $a,b,c$ 的四棱锥，最长棱通常为体对角线 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-08 单-三视图四棱柱表面积
• 2011-广东卷文-09 单-三视图四棱锥
• 2011-辽宁卷理-15 填-三棱柱三视图