2011-广东卷文-09 单-三视图四棱锥

本题导读

本题考查三视图，以及四棱锥的体积。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 如图，某几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 ()

A. $4\sqrt{3}$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $2\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：俯视图菱形对角线求底面积
2. 步骤2：正视图等边三角形的高求锥高
3. 步骤3：$V=\frac{1}{3}Sh$

✅【答案】

点击查看答案

C$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体是底面为菱形的四棱锥。

底面菱形：俯视图给出边长 $2$，两条对角线长分别为 $2\sqrt{3}$ 与 $2$（分别由正、侧视图的宽度读出），故底面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2=2\sqrt{3}$。

锥高：正视图是边长 $2\sqrt{3}$ 的等边三角形，其对应底边上的半段长 $\sqrt{3}$（菱形对角线之半），由勾股得锥高 $h=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{12-3}=3$。

体积 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times 3=2\sqrt{3}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原几何体；菱形面积（对角线乘积之半）；锥体体积公式

核心方法：三视图互相标尺寸：俯视图定底面形状与对角线，正视图定高度

避坑指南：底面积用”对角线乘积之半”，别把边长 $2$ 直接平方当面积；锥高来自正视图等边三角形的高 $3$，不是边长 $2\sqrt{3}$——把高与边混淆会错选 A；体积公式别漏 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图体积题与 2011-湖南卷文-04、2011-天津卷文-10、2012-天津卷文-10 同族。

结论推广：推广：底面为菱形（对角线 $p$，$q$）的四棱锥体积 $V=\frac{pqh}{6}$；三视图中”一个视图是等边三角形”常直接给出侧棱或锥高的等量关系。

方法推广：三视图体积题：先判断几何体类型（锥 / 柱 / 台），底面积与高分别从两个视图读取，最后核对量纲。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积
• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积
• 2012-天津卷文-10 填-三视图求体积