2010-辽宁卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形中的边角互化与三角函数最值问题。第一问利用正弦定理实现边角互化，结合余弦定理求角 $A$；第二问将 $C$ 用 $B$ 表示，利用辅助角公式化简求最值。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理17）在 $\Delta ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为内角 $A,B,C$ 的对边，且 $2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$.

(1)求 $A$ 的大小；

(2)求 $\sin B+\sin C$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，将条件式中的正弦项替换为边长，利用余弦定理求出 $\cos A$，进而得出角 $A$。
2. 第二问：已知 $A=\frac{2\pi }{3}$，由 $B+C=\frac{\pi }{3}$ 得 $C=\frac{\pi }{3}-B$。代入 $\sin B+\sin C$ 中，利用两角和的正弦公式及辅助角公式化简为单正弦形式，求出最大值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： （1）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 得： $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$

代入已知等式 $2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$ 中，两边同乘 $2R$ 得： $2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c$

展开并整理： $2a^2=2b^2+bc+2c^2+bc=2b^2+2c^2+2bc$

两边同除以 $2$ 得： $a^2=b^2+c^2+bc⟹b^2+c^2-a^2=-bc$

由余弦定理得： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}$

因为 $A\in (0,\pi )$，所以： $A=\frac{2\pi }{3}$

---

（2）由 $A=\frac{2\pi }{3}$ 得： $B+C=\pi -A=\frac{\pi }{3}⟹C=\frac{\pi }{3}-B$

因为 $B,C>0$，所以 $0<B<\frac{\pi }{3}$。

将 $C=\frac{\pi }{3}-B$ 代入 $\sin B+\sin C$ 得： $\sin B+\sin C=\sin B+\sin \left(\frac{\pi }{3}-B\right)$ $=\sin B+\sin \frac{\pi }{3}\cos B-\cos \frac{\pi }{3}\sin B$ $=\sin B+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\frac{1}{2}\sin B$ $=\frac{1}{2}\sin B+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B$ $=\sin \left(B+\frac{\pi }{3}\right)$

因为 $0<B<\frac{\pi }{3}$，所以： $\frac{\pi }{3}<B+\frac{\pi }{3}<\frac{2\pi }{3}$

当 $B+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$，即 $B=\frac{\pi }{6}$ 时，$\sin \left(B+\frac{\pi }{3}\right)$ 取得最大值 $1$。

故 $\sin B+\sin C$ 的最大值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理变形（边角互化）、余弦定理及其推论、两角和与差的正弦公式、辅助角公式。
2. 核心方法：利用 $A+B+C=\pi$ 进行消元，将二元三角函数化为一元三角函数求最值。
3. 避坑指南：化简得出 $\cos A=-\frac{1}{2}$ 时，注意 $A\in (0,\pi )$ 对应钝角 $\frac{2\pi }{3}$，切勿误写为 $\frac{\pi }{3}$；在求最值时必须先确定自变量 $B$ 的取值范围 $B\in \left(0,\frac{\pi }{3}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2010 年辽宁高考理科数学第 17 题，是解三角形与三角恒等变换相结合的标准解答题题型。
2. 结论推广：在 $\Delta ABC$ 中，已知顶角 $A$，则 $\sin B+\sin C=2\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)\cos \left(\frac{B-C}{2}\right)=2\cos \frac{A}{2}\cos \left(\frac{B-C}{2}\right)\le 2\cos \frac{A}{2}$（当且仅当 $B=C$ 时取等号）。本题中 $2\cos \frac{\pi }{3}=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数