2010-辽宁卷理-24 解-不等式

本题导读

本题考查选修 4-5 不等式选讲模块，重点考查利用基本不等式（均值不等式）进行多元代数式的放缩证明，以及确定等号成立条件的技巧。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） 已知 $a,b,c$ 均为正数，证明：$a^2+b^2+c^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2\ge 6\sqrt{3}$，并确定 $a,b,c$ 为何值时，等号成立.

🔍【思路分析】

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1. 利用 AM-GM 不等式，分别对 $a^2+b^2+c^2$ 和 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 进行放缩，用 $t=\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}$ 统一表示。
2. 将原式放缩为关于 $t$ 的二元和形式 $3t+\frac{9}{t}$，再次利用 AM-GM 不等式求得最小值 $6\sqrt{3}$。
3. 结合各次放缩的等号成立条件（$a=b=c$ 且 $3t=\frac{9}{t}$），解出 $a,b,c$ 的具体值。

✅【答案】

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因为𝑎，𝑏，𝑐均为正数，由均值不等式得𝑎2+𝑏2+𝑐2⩾33√𝑎2𝑏2𝑐2=3(𝑎𝑏𝑐)23，且

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $a,b,c$ 均为正数，根据基本不等式（AM-GM 不等式）： $a^2+b^2+c^2\ge 3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

两边平方得： ${\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2\ge 9\sqrt[3]{\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2}}$

设 $t=\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}>0$，则： $a^2+b^2+c^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2\ge 3t+\frac{9}{t}$

再对 $3t+\frac{9}{t}$ 使用基本不等式： $3t+\frac{9}{t}\ge 2\sqrt{3t\cdot \frac{9}{t}}=2\sqrt{27}=6\sqrt{3}$

故原不等式得证： $a^2+b^2+c^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2\ge 6\sqrt{3}$

---

等号成立条件的确定： 等号成立当且仅当满足以下条件：

1. 第一层基本不等式取等：$a=b=c$；
2. 第二层基本不等式取等：$3t=\frac{9}{t}⟹t^2=3⟹t=\sqrt{3}$。

由 $a=b=c$，得 $t=\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}=\sqrt[3]{a^6}=a^2$。 所以： $a^2=\sqrt{3}⟹a=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$

故当 $a=b=c=\sqrt[4]{3}$ 时，等号成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三元基本不等式 $x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}$、双元基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$、连续放缩法。
2. 核心方法：引入中间变量 $t=\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}$ 实现消元与齐次化处理。
3. 避坑指南：多次使用基本不等式时，必须严格检验两次放缩能否“同时”取到等号（即验证等号成立条件是否兼容）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自选修 4-5《不等式选讲》中利用均值不等式证明倒数型代数不等式的典型例题。
2. 结论推广：对任意正数 $a,b,c$，有 $a^n+b^n+c^n+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^n\ge 3\cdot 3^{n/2}$（当 $n=2$ 时即本题结论 $6\sqrt{3}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式