2010-重庆卷文-06 单-三角周期与单调

本题导读

考查三角函数性质。A：$\sin (2x+\frac{\pi }{2})=\cos 2x$，周期 $\pi$；$x\in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ 时 $2x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$，$\cos 2x$ 递减，符合。B：$-\sin 2x$ 在该区间递增。C、D 周期 $2\pi$。选 A。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 下列函数中，周期为 $\pi$，且在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上为减函数的是()

A. $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$　　　B. $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$　　　C. $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$　　　D. $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$

🔍【思路分析】

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1. 用诱导公式化简：$\sin (2x+\frac{\pi }{2})=\cos 2x$，$\cos (2x+\frac{\pi }{2})=-\sin 2x$，$\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$，$\cos (x+\frac{\pi }{2})=-\sin x$。
2. 周期条件：$\omega =2$ 才有周期 $\pi$，先排除 C、D。
3. 单调性：$x\in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ 即 $2x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$，看 $\cos 2x$ 与 $-\sin 2x$ 的增减。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

A. $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$. 当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$2x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，$\cos 2x$ 在该区间上单调递减，符合条件. B. $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2x$，周期为 $\pi$；但 $2x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 时 $\sin 2x$ 递减，$-\sin 2x$ 递增（或由 $y^{\prime }=-2\cos 2x⩾0$），不符合. C. $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$，周期 $2\pi$，不符合. D. $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$，周期 $2\pi$，不符合. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的周期与单调性

核心方法：诱导公式化简后比较：A 化为 $\cos 2x$ 周期 $\pi$ 且在 $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ 递减

避坑指南：四个选项都要先用诱导公式化简（$\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$ 等）；周期条件先筛掉 $\omega =1$ 的 C、D；再验证单调性方向（B 是增函数）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“周期 + 单调”双条件筛选题：先化简、再筛周期、后验单调。

结论推广：$\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$、$\cos (x+\frac{\pi }{2})=-\sin x$；$T=\frac{2\pi }{\omega }$；$\cos$ 在 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ]$ 递减。

方法推广：逐项化简后按”周期筛一轮、单调筛一轮”两步走，别跳步直接看原式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-12 单-奇函数周期
• 2009-广东卷文-09 单-降幂奇偶周期
• 2012-重庆卷文-05 单-三角恒等变换求值
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期