2010-重庆卷理-03 单-函数

本题导读

本题考查函数在某一点处的极限，考查重点在于如何通过因式分解和通分消除导致分母为零的“零因子”。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） ${\lim }_{x\to 2}\left(\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}\right)=$()

A. $-1$　　　　　　　B. $-\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 直接代入 $x=2$ 会导致出现 “$\infty -\infty$” 型未定式，需要先对括号内分式进行通分简化。

2. 分式化简后，约去分子分母中导致零的因式 $x-2$，再求极限。

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B

✍【详细解析】

Abstract

对括号内的分式进行通分： $\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}=\frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{4-(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{2-x}{(x-2)(x+2)}$， 因为 $x\to 2$ 时 $x\ne 2$，可以约去因式 $x-2$： $\frac{2-x}{(x-2)(x+2)}=\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{-1}{x+2}$， 因此： ${\lim }_{x\to 2}\left(\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}\right)={\lim }_{x\to 2}\frac{-1}{x+2}=\frac{-1}{2+2}=-\frac{1}{4}$。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：未定式极限的化简与求解。

2. 核心方法：通分约分、消除零因子。

3. 避坑指南：通分时分子应为 $4-(x+2)$，注意括号引起的符号变化，防止算成 $\frac{1}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查旧教材微积分初步中的极限概念，主要测试基本的代数恒等变形能力。

2. 结论推广：对于 ${\lim }_{x\to a}\left(\frac{2a}{x^2-a^2}-\frac{1}{x-a}\right)$ 型极限，化简后结果均为 $-\frac{1}{2a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性