2010-重庆卷理-04 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划问题，核心考查如何准确画出目标可行域，并通过平移目标直线或计算顶点来确定目标函数的最大值。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ x-y+1\ge 0\\ x+y-3\le 0\end{array}$，则 $z=2x+y$ 的最大值为()

A. $-2$　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域（通常为一个封闭的三角形区域）。

2. 分析目标函数 $z=2x+y$ 的几何意义（斜率为 $-2$ 的平行直线系的截距），寻找使截距最大的顶点。

3. 求出该关键顶点坐标，代入计算 $z$ 的最大值。

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C

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件画出可行域，其边界直线分别为 $y=0$，$x-y+1=0$，$x+y-3=0$。 计算可行域的三个顶点坐标：

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=0\\ x-y+1=0\end{array}⟹A(-1,0)$；

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y-3=0\end{array}⟹B(3,0)$；

• 联立 $\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ x+y-3=0\end{array}⟹C(1,2)$。 目标函数可变形为 $y=-2x+z$，当直线经过可行域在 $y$ 轴上截距最大的点时，$z$ 取得最大值。 将各顶点分别代入 $z=2x+y$：

• 代入 $A(-1,0)$ 得 $z=-2$；

• 代入 $B(3,0)$ 得 $z=6$；

• 代入 $C(1,2)$ 得 $z=2(1)+2=4$。 比较可知，$z$ 的最大值为 6。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：可行域的确定、目标函数几何意义的转化。

2. 核心方法：数形结合图解法、顶点穷举法。

3. 避坑指南：目标函数 $z=2x+y$ 移项后为 $y=-2x+z$，截距与 $z$ 同号，故在上移时 $z$ 变大。切勿将最值点误判为交点 $(1,2)$，需仔细比较各顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的传统高考线性规划试题，重点考查运筹学初步的图形化解决思路。

2. 结论推广：对于目标函数 $z=ax+by$（$b>0$），若可行域为凸多边形，最大值必在使得直线 $y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$ 截距最大的边界顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立