2010-重庆卷理-05 单-函数

本题导读

本题考查指数型函数的图象对称性质，核心在于通过代数变形判断函数的奇偶性，进而建立代数特征与几何对称性的联系。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{4^x+1}{2^x}$ 的图象()

A. 关于原点对称　　　　　　　　　　　　B. 关于直线 $y=x$ 对称

C. 关于 $x$ 轴对称　　　　　　　　　　　D. 关于 $y$ 轴对称

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对函数解析式进行分式拆分化简，使其更易于分析。

2. 计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较，判定函数的奇偶性。

3. 依据奇偶性的几何意义（偶函数关于 $y$ 轴对称，奇函数关于原点对称）得出结论。

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D

✍【详细解析】

Abstract

将函数 $f(x)$ 的解析式进行化简： $f(x)=\frac{4^x}{2^x}+\frac{1}{2^x}=2^x+2^{-x}$， 函数的定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。 计算 $f(-x)$： $f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^{-x}+2^x=f(x)$， 故 $f(x)$ 为偶函数。 因为偶函数的图象关于 $y$ 轴对称，所以该函数的图象关于 $y$ 轴对称。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的代数判断及其几何对称性。

2. 核心方法：定义法（验证 $f(-x)=f(x)$）。

3. 避坑指南：不可单凭直觉误选关于原点对称；注意区分 $y=x$ 对称（反函数图象关系）与自身关于 $y$ 轴对称的区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于双曲余弦函数 $\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 的变式，是高考中高频出现的经典指数型偶函数模型。

2. 结论推广：形如 $g(x)=a^x+a^{-x}$（$a>0,a\ne 1$）的函数均为偶函数，其图象恒关于 $y$ 轴对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性