2010-重庆卷理-07 单-均值不等式

本题导读

本题考查利用基本不等式求解条件最值问题。核心在于通过代数变形将二元条件转化为一元不等式，进而确定目标代数式的最小值。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 已知 $x>0,y>0,x+2y+2xy=8$，则 $x+2y$ 的最小值是()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. $\frac{9}{2}$　　　　　　　D. $\frac{11}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设目标代数式 $u=x+2y$，利用基本不等式将 $2xy$ 用 $u$ 进行向上的放大放缩。

2. 将放缩后的关系式代入已知条件中，构建关于 $u$ 的一元二次不等式并求解。

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x>0,y>0$，由基本不等式得： $x+2y\ge 2\sqrt{x\cdot 2y}=2\sqrt{2xy}$， 两边平方得 $(x+2y{)}^2\ge 8xy$，即 $2xy\le \frac{(x+2y{)}^2}{4}$。 已知 $x+2y+2xy=8$，移项得 $2xy=8-(x+2y)$。 代入上述不等式中，得： $8-(x+2y)\le \frac{(x+2y{)}^2}{4}$。 设 $u=x+2y$（$u>0$），则有： $8-u\le \frac{u^2}{4}⟹u^2+4u-32\ge 0$， 因式分解得 $(u+8)(u-4)\ge 0$。 因为 $u>0$，所以 $u\ge 4$。 当且仅当 $x=2y$，且 $x+2y=4$，即 $x=2,y=1$ 时，等号成立。 所以 $x+2y$ 的最小值是 4。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 的变式应用。

2. 核心方法：整体换元与不等式联立消元。

3. 避坑指南：在应用基本不等式时，必须验证“一正、二定、三相等”的条件，特别是等号能否取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自课本习题中关于基本不等式的应用变形，通过引入系数 2 增加了配凑的难度。

2. 结论推广：已知 $x>0,y>0,mx+ny+pxy=Q$，则 $mx+ny$ 的最小值可通过解不等式 $u+\frac{p}{4mn}{u}^2\ge Q$ 获得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式