2010-重庆卷理-15 填-数列

本题导读

本题是一道高规格的抽象函数压轴填空题。核心在于通过特殊值代入（赋值法）推导出函数值在整数点上的递推关系，从而发现其蕴含的强周期性规律。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 满足：$f(1)=\frac{1}{4}$，$4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$（$x,y\in \mathbb{R}$），则 $f(2010)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察结构 $4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$，形似三角学中的积化和差公式 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$。
2. 采用赋值法：

• 令 $x=0,y=0$ 求出 $f(0)$ 的可能值（需排除导致常数函数为 0 的舍去项）。
• 固定 $y=1$，利用 $f(1)=\frac{1}{4}$ 建立 $f(x+1),f(x),f(x-1)$ 的递推关系。

3. 归纳整数点上的函数值序列，寻找周期，最终计算 $f(2010)$。

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=0,y=0$，代入原式得：$4f(0{)}^2=2f(0)⟹2f(0)[2f(0)-1]=0$，解得 $f(0)=0$ 或 $f(0)=\frac{1}{2}$。 若 $f(0)=0$，令 $y=0$，则有 $4f(x)f(0)=f(x)+f(x)⟹0=2f(x)⟹f(x)=0$ 恒成立，这与 $f(1)=\frac{1}{4}$ 矛盾，故舍去。 因此，必有 $f(0)=\frac{1}{2}$。 令 $y=1$，代入原式得：$4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)$。 因为 $f(1)=\frac{1}{4}$，所以 $f(x)=f(x+1)+f(x-1)⟹f(x+1)=f(x)-f(x-1)$。 下面求自变量为整数时序列 $a_n=f(n)$ 的值：

• $a_0=f(0)=\frac{1}{2}$

• $a_1=f(1)=\frac{1}{4}$

• $a_2=f(2)=a_1-a_0=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$

• $a_3=f(3)=a_2-a_1=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$

• $a_4=f(4)=a_3-a_2=-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}$

• $a_5=f(5)=a_4-a_3=-\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$

• $a_6=f(6)=a_5-a_4=\frac{1}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}=a_0$ 由此可知，函数值以 6 为周期循环。 因为 $2010=6\times 335+0$， 所以 $f(2010)=f(0)=\frac{1}{2}$。 答案：$\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由函数方程推导周期性、特殊值法的合理约束（排除零函数）。

2. 核心方法：赋值法、周期归纳法。

3. 避坑指南：在第一步求 $f(0)$ 时切莫漏掉舍选步骤，若盲目猜测 $f(0)=0$ 会导致后续全盘皆错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题背景为著名的达朗贝尔函数方程（D’Alembert’s functional equation），其非零连续解的基本模型为 $f(x)=\frac{1}{2}\cos (\omega x)$。本题中由 $\frac{1}{2}\cos (\omega )=\frac{1}{4}⟹\cos \omega =\frac{1}{2}$，可取 $\omega =\frac{\pi }{3}$，对应的经典函数模型即为 $f(x)=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{\pi }{3}x\right)$，其周期为 $T=\frac{2\pi }{\pi /3}=6$。

2. 结论推广：满足 $2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ 且 $f(0)\ne 0$ 的函数必定满足 $f(0)=1$，本题由于系数为 4，实质是整体缩放了 $\frac{1}{2}$ 倍。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷理-12 单-等差数列与函数
• 2012-四川卷文-12 单-函数对称与数列求和
• 2011-上海卷文-02 填-数列极限