2010-陕西卷文-08 单-三视图棱柱体积

本题导读

考查三视图还原与体积。几何体为横放的直三棱柱，底面直角三角形面积 $\frac{\sqrt{2}}{2}$、柱长 $\sqrt{2}$，体积为 $1$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

A. $2$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 俯视图是边长 $\sqrt{2}$ 的正方形 $\to$ 几何体左右方向长为 $\sqrt{2}$（柱高）。
2. 主视图是 $\sqrt{2}\times 1$ 的矩形、左视图是直角三角形 $\to$ 横截面为直角边 $\sqrt{2}$、$1$ 的直角三角形。
3. 体积 $=$ 底面（三角形）面积 $\times$ 柱长。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由三视图知该几何体是一个横放的直三棱柱： 横截面（左视图）是直角边分别为 $\sqrt{2}$ 与 $1$ 的直角三角形，其面积为 $\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 1=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 柱长（俯视图的边长 / 主视图的宽）为 $\sqrt{2}$，故体积为 $V=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{2}=1.$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原与棱柱体积

核心方法：横放直三棱柱：底面直角三角形面积 $\frac{\sqrt{2}}{2}$、柱长 $\sqrt{2}$，$V=1$

避坑指南：俯视图是正方形说明柱轴水平放置；左视图是横截面；“长对正、高平齐、宽相等”定尺寸；体积 $=$ 底面积 $\times$ 柱长，底面是三角形不是正方形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图求体积是立体几何小题的主流题型，2009 天津文第 12 题、2011 天津文第 10 题同型。

结论推广：直棱柱 $V=S_{底}\cdot l$；三视图还原时先定摆放姿态，再逐视图核对尺寸。

方法推广：按”俯视定底、主左定形”的顺序还原：俯视图的形状是底面投影，左视图给出横截面真实形状；求完体积用”数量级”自检。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-04 单-三视图还原
• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积
• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积
• 2012-江苏卷-07 填-四棱锥体积