2010-陕西卷文-10 单-取整函数代表

本题导读

考查取整函数建模。余数 $r>6$ 即 $r⩾7$ 时增选一名，$y=\left[\frac{x+3}{10}\right]$ 恰好在 $r⩾7$ 时多出 $1$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数 $y$ 与该班人数 $x$ 之间的函数关系用取整函数 $y=[x]$（$[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）可以表示为()

A. $y=\left[\frac{x}{10}\right]$　　B. $y=\left[\frac{x+3}{10}\right]$　　C. $y=\left[\frac{x+4}{10}\right]$　　D. $y=\left[\frac{x+5}{10}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出分段规则：设 $x=10q+r$（$0⩽r⩽9$），则 $y=q$（$r⩽6$）；$y=q+1$（$r=7,8,9$）。
2. 检验 $y=\left[\frac{x+c}{10}\right]$ 型：它等于 $q+\left[\frac{r+c}{10}\right]$，只需 $c$ 使 $r⩾7$ 时 $r+c⩾10$、$r⩽6$ 时 $r+c<10$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $x=10q+r$（$q$ 为非负整数，$0⩽r⩽9$），依题意 $y=\{\begin{array}{ll}q,& 0⩽r⩽6,\\ q+1,& 7⩽r⩽9.\end{array}$ 对选项 B：$y=\left[\frac{x+3}{10}\right]=\left[q+\frac{r+3}{10}\right]=q+\left[\frac{r+3}{10}\right]$. 当 $0⩽r⩽6$ 时，$3⩽r+3⩽9<10$，$\left[\frac{r+3}{10}\right]=0$，$y=q$； 当 $7⩽r⩽9$ 时，$10⩽r+3⩽12$，$\left[\frac{r+3}{10}\right]=1$，$y=q+1$. 完全符合规则. 检验其余选项：A 恒等于 $q$，无增选；C 在 $r⩾6$ 时增选（$6$ 不合题意）；D 在 $r⩾5$ 时增选. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：取整函数的实际建模

核心方法：$y=\left[\frac{x+3}{10}\right]$ 恰在余数 $r⩾7$ 时多 $1$

避坑指南：设 $x=10q+r$，把 $\left[\frac{x+c}{10}\right]$ 拆成 $q+\left[\frac{r+c}{10}\right]$ 逐段验证；$c=3$ 时 $r=6$ 不增选（$6+3=9<10$）、$r=7$ 增选（$7+3=10$），边界恰好；$c$ 取 $4$ 或 $5$ 都会把 $r=6$ 或 $5$ 错误纳入。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：取整函数建模源自生活规则（代表名额、计费、装箱），2009 湖北文第 9 题同考取整函数。

结论推广：$[x]$ 是不大于 $x$ 的最大整数；$[q+t]=q$（$0⩽t<1$）；含取整的分段验证法通用。

方法推广：用 $x=10q+r$ 拆分后逐段核对边界 $r=6,7$，边界值是区分四个选项的唯一判据；不需要对每个选项完整画图。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-15 填-分段计费
• 2009-湖北卷文-09 单-取整函数数列
• 2011-天津卷文-08 单-新定义运算零点
• 2011-福建卷文-12 单-整数分类新定义