2011-福建卷文-12 单-整数分类新定义

本题导读

本题考查新定义与集合划分，以及充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 在整数集 $\mathbf{Z}$ 中，被 $5$ 除所得余数为 $k$ 的所有整数组成一个”类”，记为 $[k]$，即 $[k]=\{5n+k\mid n\in \mathbf{Z}\}$，$k=0,1,2,3,4$.给出如下四个结论：

① $2011\in [1]$；

② $-3\in [3]$；

③ $\mathbf{Z}=[0]\cup [1]\cup [2]\cup [3]\cup [4]$；

④ “整数 $a$，$b$ 属于同一“类”“的充要条件是"$a-b\in [0]$".

其中，正确结论的个数是 ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：按定义 $[k]=\{5n+k\mid n\in \mathbf{Z}\}$ 逐条检验四个结论

✅【答案】

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C$3$ 个

✍【详细解析】

Abstract

① $2011=5\times 402+1$，余数为 $1$，故 $2011\in [1]$，正确。

② $-3=5\times (-1)+2$，被 $5$ 除余 $2$，故 $-3\in [2]$ 而非 $[3]$，错误。

③ 任一整数被 $5$ 除的余数唯一且必为 $0,1,2,3,4$ 之一，故五类恰好划分 $\mathbf{Z}$，并集为 $\mathbf{Z}$，正确。

④ $a-b\in [0]$ 即 $a-b=5n$，即 $5\mid a-b$，即 $a$ 与 $b$ 被 $5$ 除同余，即同类，且各步均可逆，正确。

综上正确的有①③④共 $3$ 个，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义理解；带余除法与同余；充要条件的双向验证

核心方法：新定义题把每条结论翻译回”被 $5$ 除的余数”逐一核验；充要条件须两个方向都通

避坑指南：负数的余数不是照搬负号——$-3$ 被 $5$ 除应写成 $-3=5\times (-1)+2$，余数取 $2$（②是唯一陷阱）；④的两向性：“同类$\Rightarrow$差为 $5$ 的倍数”与”差为 $5$ 的倍数$\Rightarrow$同类”缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义题与 2011-天津卷文-09、2011-山东卷文-12、2012-湖北卷文-07 同族。

结论推广：推广：按”除以 $m$ 的余数”分类把 $\mathbf{Z}$ 划分为 $m$ 个互不相交的类，$a$，$b$ 同类 $⟺m\mid a-b$，此即模 $m$ 同余的雏形。

方法推广：新定义集合题：定义即法则，逐条代入验证；涉及”充要条件”的结论要分别检验充分性与必要性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-09 填-集合与整数交集
• 2011-山东卷文-12 单-调和分割新定义
• 2012-湖北卷文-07 单-保等比数列新定义