2010-陕西卷文-11 填-归纳推理等式

本题导读

考查归纳推理。等式右端依次为 $3^2,6^2,10^2$，底数 $3,6,10,15$ 依次加 $3,4,5$，故第四个等式为 $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 观察下列等式：$1^3+2^3=3^2$，$1^3+2^3+3^3=6^2$，$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$，$\cdots$，根据上述规律，第四个等式为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 左端：每次累加一个新立方数，第四个等式应到 $5^3$。
2. 右端：底数 $3,6,10$ 的增量依次为 $3,4$，故下一个底数为 $10+5=15$。
3. 验证：$1+2+3+4+5=15$，与立方和公式 $1^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n{)}^2$ 吻合。

✅【答案】

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$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$

✍【详细解析】

Abstract

各等式的右端依次为 $3^2$，$6^2$，$10^2$，底数 $3,6,10$ 的相邻差依次为 $3,4$，依此规律下一个底数为 $10+5=15$. 左端每次增加一个立方数，第四个等式左端为 $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3$. 故第四个等式为 $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2.$ 验证：左端 $=225$，右端 $15^2=225$，吻合（一般地 $1^3+\cdots +n^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理（等式规律）

核心方法：右端底数 $3,6,10,15$ 依次加 $3,4,5$，第四个等式 $1^3+\cdots +5^3=15^2$

避坑指南：左端看”加到几”、右端看”底数怎么变”，两条线索分开追踪；底数 $3,6,10$ 是三角形数，差依次为 $3,4,5$；写完必须代回验证 $15^2=225$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理等式是陕西卷的传统题（2011 第 13 题、2013 第 13 题同型），也见于江西、湖北卷。

结论推广：$1^3+2^3+\cdots +n^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$；三角形数 $1,3,6,10,15$ 的通项为 $\frac{n(n+1)}{2}$。

方法推广：两条线索分别找规律再拼合；结论务必代回验算一次，归纳推理的结论允许验证但不允许不验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-13 填-等式规律归纳推理
• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式
• 2011-江西卷文-06 单-幂末两位归纳推理
• 2015-陕西卷文-16 填-归纳规律