2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式

本题导读

本题考查归纳推理，以及数列的规律。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 观察下列等式： $(1+1)=2\times 1$， $(2+1)(2+2)=2^2\times 1\times 3$， $(3+1)(3+2)(3+3)=2^3\times 1\times 3\times 5$， $\dots \dots$ 照此规律，第 $n$ 个等式可为 　　.

🔍【思路分析】

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1. 左边：从 $n+1$ 连乘到 $n+n$（$n$ 个因式）。
2. 右边：$2^n$ 乘 $1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)$（$n$ 个连续奇数）。
3. 验证 $n=1,2,3$ 均成立。

✅【答案】

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$(n+1)(n+2)\cdots (n+n)=2^n\times 1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-1)$

✍【详细解析】

Abstract

观察前三个等式的结构：

• 左边都是 $n$ 个连续正整数之积，首项比序号大 $1$（第 $n$ 个式子的首项为 $n+1$，末项为 $n+n=2n$）；
• 右边第一个因数是 $2^n$，其后是前 $n$ 个连续奇数 $1,3,5,\cdots ,2n-1$ 之积。 故第 $n$ 个等式为 $(n+1)(n+2)\cdots (n+n)=2^n\times 1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-1).$ 检验：$n=1$ 时左 $=2$、右 $=2^1\times 1=2$；$n=2$ 时左 $=3\times 4=12$、右 $=2^2\times 1\times 3=12$；$n=3$ 时左 $=4\times 5\times 6=120$、右 $=2^3\times 1\times 3\times 5=120$，均成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理（等式规律）

核心方法：第 $n$ 个等式左边是 $(n+1)(n+2)\cdots (n+n)$（$n$ 个因式），右边是 $2^n\times 1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-1)$

避坑指南：抓两个结构：左边从 $n+1$ 连乘到 $n+n$（共 $n$ 个因式，末项为 $2n$）；右边 $2^n$ 乘连续奇数 $1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2n-1)$（共 $n$ 个）。把 $n=1,2,3$ 回代自检，别把左边首项写成 $n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理与等式规律的表达。

结论推广：观察结构；回代自检。

方法推广：先写左边连乘范围 → 再写右边 $2^n$ 与奇数连乘 → 用 $n=1,2,3$ 验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷文-14 填-函数迭代
• 2015-陕西卷文-16 填-归纳规律
• 2014-安徽卷文-14 填-奇函数周期