2011-江西卷文-06 单-幂末两位归纳推理

本题导读

本题考查归纳推理，以及幂的末两位周期性。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 观察下列各式：$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401$，$\cdots$，则 $7^{2011}$ 的末两位数字为 ()

A. $01$　　　　　　　B. $43$　　　　　　　C. $07$　　　　　　　D. $49$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：列出 $7^2,7^3,7^4,7^5$ 的末两位
2. 步骤2：发现周期 $4$
3. 步骤3：再按 $2011\mathrm{mod}4$ 归类

✅【答案】

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B$43$

✍【详细解析】

Abstract

$7^2=49$；$7^3=343$，末两位 $43$；$7^4=2401$，末两位 $01$；$7^5=16807$，末两位 $07$；$7^6=117649$，末两位 $49$。

末两位按 $49,43,01,07$ 周期 $4$ 循环。

$2011=4\times 502+3$，故 $7^{2011}$ 的末两位与 $7^3$ 相同，为 $43$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：合情推理（归纳）；幂的末两位的周期规律

核心方法：由前若干项归纳出周期，再把大指数按模归到已知代表项

避坑指南：周期从 $7^2$ 起算（$7^1=7$ 只有末一位），归类时按 $n\mathrm{mod}4$：余 $2\to 49$、余 $3\to 43$、余 $0\to 01$、余 $1\to 07$——把 $2011$ 的余数算成 $1$ 会对到 $07$（选项 C）；验证周期至少要算到下一轮的第一项（$7^6$）确认回归。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理题与 2011-陕西卷文-13、2012-江西卷文-05、2013-陕西卷文-13 同族。

结论推广：推广：正整数幂的末两位由模 $100$ 的余数决定，$(7^n)\mathrm{mod}100$ 必然出现周期（乘法封闭有限集合）；寻找周期时只需盯住”末两位”这一局部信息，不必算全幂。

方法推广：规律探索题：算足一个完整周期并验证回归，再把大数按模归类；周期起点要看清从第几项开始。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-13 填-等式规律归纳推理
• 2012-江西卷文-05 单-归纳推理找规律
• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式