2010-陕西卷文-13 填-分段函数复合

本题导读

考查分段函数复合求值。$f(0)=2$ 落在第二段，$f(2)=4+2a$，令其等于 $4a$ 得 $a=2$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+2,& x<1,\\ x^2+ax,& x⩾1,\end{array}$ 若 $f(f(0))=4a$，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由内到外：先算 $f(0)$，再判断它落在哪一段。
2. $f(0)=2⩾1$，代入第二段 $x^2+ax$。
3. 建立方程 $f(f(0))=4a$，解出 $a$ 并代回检验。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

$f(0)=3\times 0+2=2$，且 $2⩾1$，故 $f(f(0))=f(2)=2^2+2a=4+2a$. 由 $f(f(0))=4a$ 得 $4+2a=4a$，解得 $a=2$. 检验：$a=2$ 时 $f(2)=4+4=8$，$4a=8$，成立.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的复合求值

核心方法：$f(0)=2$ 落第二段：$f(2)=4+2a=4a$，$a=2$

避坑指南：复合求值”由内向外”，每一步先判断自变量落在哪一段；$f(0)$ 用第一段（$0<1$）、$f(2)$ 用第二段（$2⩾1$），换段是本题的核心动作。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数复合求值是填空题常客，2011 陕西文第 11 题、2012 福建文第 9 题同型。

结论推广：$f(g(x))$：先算 $g(x)$，再以 $g(x)$ 为自变量选段；分段点处的归属（$x⩾1$ 含等号）必须看清。

方法推广：每层代入前先写”判断落段”的一句话，避免顺手用错段；求出参数后反向验证一遍等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-江西卷文-03 单-分段函数复合求值
• 2011-北京卷文-13 填-分段函数两根
• 2012-福建卷文-09 单-分段函数复合求值
• 2011-福建卷文-08 单-分段函数方程