2012-江西卷文-03 单-分段函数复合求值

本题导读

本题考查分段函数求值，以及复合函数的计算。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x⩽1,\\ \frac{2}{x},& x>1,\end{array}$ 则 $f(f(3))=$()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{13}{9}$

🔍【思路分析】

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$f(3)=\frac{2}{3}⩽1$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}+1=\frac{13}{9}$，故选 D

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$3>1$，故 $f(3)=\frac{2}{3}$。

$\frac{2}{3}⩽1$，故 $f\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^2+1=\frac{4}{9}+1=\frac{13}{9}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的复合求值；代入前先判断自变量所在区间

核心方法：“由内向外”逐层代入，每层代入前先比对分段条件

避坑指南：最常见错误是拿到 $f(3)$ 后直接再代 $x>1$ 段得 $\frac{2}{2/3}=3$（选 B）；$\frac{2}{3}<1$ 必须换用 $x^2+1$ 段。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数复合求值题，与 2012 年福建卷文第 9 题、2012 年陕西卷文第 11 题同族。

结论推广：分段函数复合 $f(f(x))$ 的关键是每次代入前重新判断区间；画数轴标出各段适用范围可避免用错段。

方法推广：分段函数求值题按”判段—代入—再判段—再代入”四步走，不要跳步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-09 单-分段函数复合求值
• 2012-陕西卷文-11 填-分段函数复合求值
• 2013-福建卷文-13 填-分段函数求值