2011-福建卷文-08 单-分段函数方程

本题导读

本题考查分段函数求值，以及方程求解。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& x>0,\\ x+1,& x⩽0.\end{array}$ 若 $f(a)+f(1)=0$，则实数 $a$ 的值等于 ()

A. $-3$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先算 $f(1)=2$
2. 步骤2：再解 $f(a)=-2$
3. 步骤3：按 $a$ 的范围选段

✅【答案】

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A$a=-3$

✍【详细解析】

Abstract

$1>0$，故 $f(1)=2\times 1=2$。

由 $f(a)+f(1)=0$ 得 $f(a)=-2$。

若 $a>0$，则 $f(a)=2a>0$，不可能等于 $-2$，舍去；

故 $a⩽0$，$f(a)=a+1=-2$，解得 $a=-3$（满足 $a⩽0$）。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的自变量归类；分段解方程

核心方法：先算已知点的函数值，再由目标函数值的符号锁定所用的分段

避坑指南：$f(a)=-2<0$ 决定了必须用 $x+1$ 这一段（$2x$ 段在 $x>0$ 时恒正）；解出的 $a=-3$ 应回代检验落在该段定义域 $x⩽0$ 内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数方程题与 2012-福建卷文-09、2013-福建卷文-13、2011-北京卷文-13 同族。

结论推广：推广：分段函数方程 $f(a)=c$ 的解个数等于各段上解的个数之和，每段解出后必须回验定义域。

方法推广：分段函数：先由目标值的范围排除不可能的段，再在候选段内解方程并回验区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-09 单-分段函数复合求值
• 2013-福建卷文-13 填-分段函数求值
• 2011-北京卷文-13 填-分段函数两根