2010-陕西卷文-20 解-椭圆存在性探索

本题导读

考查椭圆方程与存在性探索。$a^2+b^2=7$ 与 $a=2c$ 联立得 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；第（2）问以 $P$ 为基点参数化直线 $l$，证明 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}>1$ 恒成立，故不存在满足条件的直线 $l$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 如图，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的顶点为 $A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，焦点为 $F_1$，$F_2$，$|A_1{B}_1|=\sqrt{7}$，$S_{A_1{B}_1{A}_2{B}_2}=2S_{B_1{F}_1{B}_2{F}_2}$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)设 $n$ 是过原点的直线，$l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点、与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点的直线，$|OP|=1$. 是否存在上述直线 $l$ 使 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}=1$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. （1）$A_1(-a,0)$，$B_1(0,b)$，写出 $|A_1{B}_1{|}^2=a^2+b^2$；两个四边形对角线互相垂直，面积均等于对角线乘积的一半。
2. 由 $S_{A_1{B}_1{A}_2{B}_2}=2S_{B_1{F}_1{B}_2{F}_2}$ 得 $ab=2bc$，即 $a=2c$，与 $a^2+b^2=7$、$c^2=a^2-b^2$ 联立。
3. （2）$P$ 是 $l$ 上的垂足且 $|OP|=1$，设 $P=(\cos \theta ,\sin \theta )$，直线 $l$ 上的点用 $P+t\vec{v}$（$\vec{v}$ 为单位方向向量）表示，代入椭圆方程用韦达定理表示 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

(2) 不存在满足条件的直线 $l$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆焦点到原点的距离为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$. 由顶点坐标 $A_1(-a,0)$，$B_1(0,b)$ 得 $|A_1{B}_1{|}^2=a^2+b^2=7.$ 四边形 $A_1{B}_1{A}_2{B}_2$ 的两条对角线长为 $2a$，$2b$，四边形 $B_1{F}_1{B}_2{F}_2$ 的两条对角线长为 $2b$，$2c$，两组对角线均互相垂直，故 $S_{A_1{B}_1{A}_2{B}_2}=2ab,S_{B_1{F}_1{B}_2{F}_2}=2bc.$ 由题设 $2ab=2\cdot 2bc$，得 $a=2c$. 于是 $a^2=4c^2=4(a^2-b^2)$，即 $b^2=\frac{3}{4}{a}^2$. 联立 $a^2+b^2=7$，解得 $a^2=4$，$b^2=3$，故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$（2）假设存在满足条件的直线 $l$. 因 $|OP|=1$ 且 $OP\perp l$，设 $P=(\cos \theta ,\sin \theta )$，则直线 $l$ 的方程为 $x\cos \theta +y\sin \theta =1.$取 $l$ 的一个单位方向向量 $\vec{v}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$，则直线 $l$ 上任一点可写为 $P+t\vec{v}$. 设交点 $A$，$B$ 对应的参数分别为 $t_1$，$t_2$（$t_1<t_2$），代入椭圆方程整理得 $\left(\frac{{\sin }^2\theta }{4}+\frac{{\cos }^2\theta }{3}\right)t^2+\frac{\sin \theta \cos \theta }{6}t+\left(\frac{{\cos }^2\theta }{4}+\frac{{\sin }^2\theta }{3}-1\right)=0.$ 因 $P$ 在椭圆内部，故 $t_1<0<t_2$. 由韦达定理并化简（分子分母同乘 12）， $-t_1{t}_2=\frac{1-\frac{{\cos }^2\theta }{4}-\frac{{\sin }^2\theta }{3}}{\frac{{\sin }^2\theta }{4}+\frac{{\cos }^2\theta }{3}}=\frac{8+{\cos }^2\theta }{3+{\cos }^2\theta }.$ 由于 $\vec{v}$ 是单位向量，且 $\overrightarrow{AP}=-t_1\vec{v}$，$\overrightarrow{PB}=t_2\vec{v}$，所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}=-t_1{t}_2=\frac{8+{\cos }^2\theta }{3+{\cos }^2\theta }>1$ 对任意 $\theta$ 恒成立，故不存在使 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}=1$ 成立的直线 $l$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与存在性探索

核心方法：$a^2+b^2=7$，$a=2c\Rightarrow a^2=4,b^2=3$；$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}=\frac{8+{\cos }^2\theta }{3+{\cos }^2\theta }>1$ 恒成立

避坑指南：两个四边形面积用”对角线互相垂直”公式：面积 $=$ 对角线乘积之半，别按梯形硬算；$-t_1{t}_2$ 的分子分母同乘 12 化简是关键一步；结论”大于 1 恒成立”要落实到 ${\cos }^2\theta \in [0,1]$ 的说明。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆方程+探索性问题是圆锥曲线大题的经典结构，2009 新课标Ⅰ文第 20 题、福建文第 22 题同型。

结论推广：对角线互相垂直的四边形 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$；直线的参数式 $P+t\vec{v}$ 中 $-t_1{t}_2$ 直接给出 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}$。

方法推广：存在性问题先假设存在，推出矛盾或恒成立结论后下结论；参数法（点差/韦达）适合与”垂足+距离”条件配合，避免联立斜率的分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2009-福建卷文-22 解-椭圆最值与存在性
• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围