2010-陕西卷理-04 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式展开式的通项公式应用及待定系数求解。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） ${\left(x+\frac{a}{x}\right)}^5(x\in \mathbb{R})$ 展开式中 $x^3$ 的系数为 $10$，则实数 $a$ 等于()

A. $-1$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 写出二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 令 $x$ 的指数为 $3$，求出 $r$ 的值。
3. 根据系数等于 $10$ 列方程求出实数 $a$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x+\frac{a}{x}\right)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r{x}^{5-r}{\left(\frac{a}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_5^r{a}^r{x}^{5-2r}(r=0,1,2,3,4,5)$

令 $x$ 的幂次为 $3$： $5-2r=3⟹2r=2⟹r=1$

此时 $x^3$ 的系数为： ${\mathrm{C}}_5^1{a}^1=5a$

由已知 $x^3$ 的系数为 $10$： $5a=10⟹a=2$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：求出通用指数关系，令指数等于目标次数解出 $r$。
3. 避坑指南：区分“项的系数”与“二项式系数”，此处需要包含系数项 $a^r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础二项式定理题，考查运算准确性。
2. 结论推广：在 ${\left(A{x}^p+\frac{B}{x^q}\right)}^n$ 的展开式中，常数项满足 $np-r(p+q)=0$。

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
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