2010-陕西卷理-16 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的综合应用，通过等比中项性质确定等差数列的公差，进而利用等比数列前 $n$ 项和公式求解新数列的求和问题。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 16. 已知 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，$a_1=1$ 且 $a_1,a_3,a_9$ 成等比数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项；

(2) 求数列 $\{2^{a_n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d(d\ne 0)$。用 $d$ 表示出 $a_3=1+2d$ 和 $a_9=1+8d$。由 $a_1,a_3,a_9$ 成等比数列得 $a_3^2=a_1\cdot a_9$，解出 $d$，进而得出通项公式 $a_n$。
2. 第 (2) 问：写出新数列的通项 $b_n=2^{a_n}$，判断其为以 $2^{a_1}$ 为首项、以 $2^d$ 为公比的等比数列，套用等比数列前 $n$ 项和公式求解 $S_n$。

✅【答案】

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$169$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d(d\ne 0)$。 因为 $a_1=1$，所以： $a_3=a_1+2d=1+2d$ $a_9=a_1+8d=1+8d$

因为 $a_1,a_3,a_9$ 成等比数列，所以： $a_3^2=a_1\cdot a_9⟹(1+2d{)}^2=1\cdot (1+8d)$

展开并化简： $1+4d+4d^2=1+8d⟹4d^2-4d=0⟹4d(d-1)=0$

解得 $d=0$ 或 $d=1$。 因为数列 $\{a_n\}$ 的公差不为零（$d\ne 0$），所以 $d=1$。

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times 1=n$

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(2) 求数列 $\{2^{a_n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$

由 (1) 得 $a_n=n$，设新数列 $b_n=2^{a_n}=2^n$。

因为： $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2(\text{常数})$ 所以数列 $\{2^{a_n}\}$ 是以 $b_1=2^1=2$ 为首项、以 $q=2$ 为公比的等比数列。

根据等比数列前 $n$ 项和公式，其前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2(2^n-1)=2^{n+1}-2$

故数列 $\{2^{a_n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2^{n+1}-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比中项性质 $a_3^2=a_1{a}_9$、等差数列通项与指数型数列的前 $n$ 项和。
2. 核心方法：利用公差方程 $4d^2-4d=0$ 求解基本量；识别指数变换后数列为新等比数列。
3. 避坑指南：注意“公差不为零”条件，必须舍去 $d=0$ 的解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：等差与等比数列基本量计算的经典交汇试题。
2. 结论推广：若 $\{a_n\}$ 为公差为 $d$ 的等差数列，则 $\{q^{a_n}\}(q>0,q\ne 1)$ 必为公比为 $q^d$ 的等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-浙江卷文-19 解-等差数列倒数成等比
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列