2011-北京卷文-07 单-均值不等式费用

本题导读

本题考查函数模型的选择，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 $800$ 元．若每批生产 $x$ 件，则平均仓储时间为 $\frac{x}{8}$ 天，且每件产品每天的仓储费用为 $1$ 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ()

A. $60$ 件　　　　B. $80$ 件　　　　C. $100$ 件　　　　D. $120$ 件

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：单件总费用 $y=\frac{800}{x}+\frac{x}{8}$
2. 步骤2：由均值不等式 $x=80$ 时最小

✅【答案】

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B每批应生产 $80$ 件

✍【详细解析】

Abstract

每批生产 $x$ 件：

单件生产准备费用 $=\frac{800}{x}$；单件仓储费用 $=\frac{x}{8}\times 1=\frac{x}{8}$（仓储 $\frac{x}{8}$ 天、每天每件 $1$ 元）。

单件总费用 $y=\frac{800}{x}+\frac{x}{8}⩾2\sqrt{\frac{800}{x}\cdot \frac{x}{8}}=2\times 10=20$。

当且仅当 $\frac{800}{x}=\frac{x}{8}$，即 $x^2=6400$，$x=80$ 时取等号。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式 $\frac{a}{x}+bx⩾2\sqrt{ab}$ 的应用；费用模型

核心方法：“单件费用 = 批量费用 ÷ 批量”：准备费摊到每件、仓储费按件按天累计，两项一增一减

避坑指南：仓储费是每件 $\frac{x}{8}$ 元（与批量成正比），不是每批 $\frac{x}{8}$ 元；取等条件 $x=80$ 要代回确认在选项范围内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：均值不等式应用题与 2014-浙江卷文-16（均值不等式最值）同族。

结论推广：推广：$y=\frac{a}{x}+bx$ 的最小值 $2\sqrt{ab}$ 在 $x=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 处取得；若要求整数解或定义域受限，需检验端点。

方法推广：费用优化小题：先写”单件总费用”表达式（两 implication 项一增一减），再套均值不等式，最后解取等方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷文-16 填-均值不等式最值