2011-北京卷理-03 单-极坐标

本题导读

本题考查圆的极坐标方程，以及极坐标系与直角坐标系的互化。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 在极坐标系中，圆 $\rho =-2\sin \theta$ 的圆心的极坐标是 ()

A. $\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$　　　　B. $\left(1,-\frac{\pi }{2}\right)$　　　　C. $(1,0)$　　　　D. $(1,\pi )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将极坐标方程 $\rho =-2\sin \theta$ 转化为直角坐标方程。
2. 确定直角坐标下的圆心坐标。
3. 将圆心直角坐标转换为极坐标。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 两边同乘以 $\rho$ 得 ${\rho }^2=-2\rho \sin \theta$。 化为直角坐标方程为：$x^2+y^2=-2y$，即 $x^2+(y+1{)}^2=1$。 直角坐标系下圆心为 $(0,-1)$。 将 $(0,-1)$ 化为极坐标： 极径 $\rho =\sqrt{0^2+(-1{)}^2}=1$，极角 $\theta =-\frac{\pi }{2}$。 故圆心的极坐标为 $\left(1,-\frac{\pi }{2}\right)$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标与直角坐标互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$。
• 核心方法：统一化为直角坐标系处理。
• 避坑指南：注意点 $(0,-1)$ 在 $y$ 轴负半轴上，对应的极角为 $-\frac{\pi }{2}$ 或 $\frac{3\pi }{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自坐标系与参数方程基础题。
• 结论推广：圆 $\rho =-2r\sin \theta$ ($r>0$) 的圆心极坐标为 $\left(r,-\frac{\pi }{2}\right)$，半径为 $r$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 1994-全国卷理-03
• 1999-全国卷理-06 单-圆的对称性