2009-上海卷理-18 单-极坐标

本题导读

本题考查区域面积的割补与对称性、极坐标与对称轴分割，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 过圆 $C:(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$ 的圆心，作直线分别交 $x、y$ 正半轴于点 $A、B$，$\Delta AOB$ 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 $S_{\text{I}}+S_{\text{IV}}=S_{\text{II}}+S_{\text{III}}$，则直线 $AB$ 有 ()

A. 0 条　　　　　B. 1 条　　　　　C. 2 条　　　　　D. 3 条

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建对称分割：连接 $OC$，利用 $y=x$ 这条对称轴将圆及外部区域进行对称切分。

2. 表示部分面积：将 $\Delta AOC$ 与 $\Delta BOC$ 的面积用区域 I、II、III、IV 的组合形式严格表示出来。

3. 结合已知消元：两面积相减消去对称公共部分，结合已知等式 $S_{\text{I}}+S_{\text{IV}}=S_{\text{II}}+S_{\text{III}}$ 导出 $a-b$ 为常数的等式。

4. 判定直线解个数：联立直线过 $C(1,1)$ 的条件 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，研究所得一元二次方程在 $a>1$ 处的正根数量。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $C$ 的圆心为 $C(1,1)$，半径 $R=1$．由于直线 $AB$ 与 $x,y$ 轴正半轴相交， 可设 $A(a,0)$，$B(0,b)$，因为直线过圆心 $C(1,1)$，且圆与两轴相切，明显有 $a>1,b>1$。 连接 $OC$，直线 $OC$ 即为 $y=x$。 因为圆 $C$ 及其切线角区关于 $y=x$ 对称，所以 $OC$ 将区域 II（原点侧圆外部分）及区域 IV（原点侧半圆）均对半平分。 由于 $\Delta AOC$ 内部包含区域 I、半个区域 IV 和半个区域 II，可得其面积为： $S_{\Delta AOC}=\frac{1}{2}a\times y_C=\frac{a}{2}=S_{\text{I}}+\frac{1}{2}{S}_{\text{IV}}+\frac{1}{2}{S}_{\text{II}}$ 同理，在 $\Delta BOC$ 中： $S_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}b\times x_C=\frac{b}{2}=S_{\text{III}}+\frac{1}{2}{S}_{\text{IV}}+\frac{1}{2}{S}_{\text{II}}$ 两式相减可得： $\frac{a-b}{2}=S_{\text{I}}-S_{\text{III}}$ 由已知条件 $S_{\text{I}}+S_{\text{IV}}=S_{\text{II}}+S_{\text{III}}⟹S_{\text{I}}-S_{\text{III}}=S_{\text{II}}-S_{\text{IV}}$。 所以有： $\frac{a-b}{2}=S_{\text{II}}-S_{\text{IV}}$ 根据圆的几何公式，区域 II 的面积为正方形减去四分之一圆面积，即 $S_{\text{II}}=1-\frac{\pi }{4}$； 区域 IV 为半圆，其面积 $S_{\text{IV}}=\frac{\pi }{2}$。 代入计算： $\frac{a-b}{2}=\left(1-\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{2}=1-\frac{3\pi }{4}⟹a-b=2-\frac{3\pi }{2}$ 设常数 $d=2-\frac{3\pi }{2}\approx 2-4.71=-2.71<0$。即 $a-b=d$。 又因为直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 过点 $(1,1)$，所以： $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1⟹a+b=ab$ 将 $b=a-d$ 代入上式中： $a+(a-d)=a(a-d)⟹a^2-(d+2)a+d=0$ 此方程的判别式 $\Delta =(d+2{)}^2-4d=d^2+4>0$，所以方程有两个互异实数根： $a=\frac{d+2\pm \sqrt{d^2+4}}{2}$ 因为 $d<0$，所以 $\sqrt{d^2+4}>|d|=-d⟹d+\sqrt{d^2+4}>0$。 故方程有一个正实根 $a_1=\frac{d+2+\sqrt{d^2+4}}{2}$，另一个为负实根（舍去）。 代入 $d\approx -2.71$ 可算得： $a_1=\frac{-0.71+\sqrt{7.34+4}}{2}\approx 1.33>1$ 此时 $b_1=a_1-d\approx 4.04>1$。 所以满足条件的截距对 $(a,b)$ 有且仅有一组，即满足条件的直线有 1 条。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：过定点的直线在两坐标轴上的截距和与乘积的约束关系 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$。

2. 核心方法：巧用角平分对称线 $y=x$ 对不规则区域面积进行配对，避免了繁琐的解析几何求导与重积分。

3. 避坑指南：容易错用对称性主观判定 $a=b=2$，但实际上在该状态下 $S_{\text{II}}\ne S_{\text{IV}}$（因为 $1-\frac{\pi }{4}\approx 0.215$ 而 $\frac{\pi }{2}\approx 1.57$），所以对称直线并不满足题目等式，必须根据实数根分布进行严格求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查了射影几何与区域测度割补，属于上海高考自主命题黄金时代的几何代数化压轴名题。

2. 结论推广：若圆为 $(x-R{)}^2+(y-R{)}^2=R^2$，直线 $AB$ 过圆心 $C(R,R)$，当满足面积关系 $S_{\text{I}}+S_{\text{IV}}=S_{\text{II}}+S_{\text{III}}$ 时，两坐标轴的截距差恒满足 $a-b=2\left(1-\frac{3\pi }{4}\right)R$。

🔗【关联脉络】

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$B.$

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-03 单-极坐标
• 2011-广东卷理-14 填-极坐标互化
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标