2011-北京卷理-09 填-两角和

本题导读

本题考查三角函数同角三角函数关系，以及正弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 在 $\Delta ABC$ 中，若 $b=5,\angle B=\frac{\pi }{4},\tan A=2$，则 $\sin A=$ $\underline{}$；$a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用 $\tan A=2$ 及 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 计算 $\sin A$。
2. 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求出 $a$。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；$2\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 因为 $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=2$，且 $A\in (0,\pi )$，故 $\sin A>0,\cos A>0$。 代入 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 得： $(2\cos A{)}^2+{\cos }^{2}A=1⟹5{\cos }^{2}A=1⟹\cos A=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 所以 $\sin A=2\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

2. 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，代入已知条件： $a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{5\times \frac{2\sqrt{5}}{5}}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{10}$

答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；$2\sqrt{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：由 $\tan A$ 求 $\sin A$（弦切互化）与正弦定理应用。
• 核心方法：公式 $\sin A=\frac{\tan A}{\sqrt{1+{\tan }^{2}A}}$（当 $A$ 为锐角时）。
• 避坑指南：注意开方时的正负号判定，三角形内角正弦值恒为正数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自解三角形基础计算题。
• 结论推广：在 $\Delta ABC$ 中，$a=\frac{b\sin A}{\sin B}$ 为正弦定理的标准变形应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2014-山东卷文-17 解-解三角形
• 2015-山东卷文-17 解-解三角形