2011-北京卷理-10 填-三角

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及平面向量共线的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a}=(\sqrt{3},1),\mathbf{b}=(0,-1),\mathbf{c}=(k,\sqrt{3})$.若 $\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 共线，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 计算向量 $\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ 的坐标。
2. 利用向量共线条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 列方程求解 $k$。

✅【答案】

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1

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算 $\mathbf{a}-2\mathbf{b}$： $\mathbf{a}-2\mathbf{b}=(\sqrt{3},1)-2(0,-1)=(\sqrt{3},3)$

2. 因为 $\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}=(k,\sqrt{3})$ 共线，由向量共线坐标公式得： $\sqrt{3}\times \sqrt{3}-3\times k=0$ $3-3k=0⟹k=1$

答案为：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量坐标线性运算与向量共线充要条件（$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$）。
• 核心方法：坐标运算法。
• 避坑指南：向量共线的坐标公式交叉相乘对应项勿颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自平面向量坐标运算基础题。
• 结论推广：若 $\mathbf{u}=(x_1,y_1),\mathbf{v}=(x_2,y_2)$，则 $\mathbf{u}\parallel \mathbf{v}⟺x_1{y}_2=x_2{y}_1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算