2011-四川卷理-11 单-二面角

本题导读

本题考查函数的自相似/拟周期递推性质，以及二次函数在闭区间上的最值。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 已知定义在 $[0,+\infty )$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=3f(x+2)$，当 $x\in [0,2)$ 时，$f(x)=-x^2+2x$.设 $f(x)$ 在 $[2n-2,2n)$ 上的最大值为 $a_n(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$，且 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ ()

A. 3　　　　　　　B. $\frac{5}{2}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数关系式：$f(x)=3f(x+2)⟹f(x+2)=\frac{1}{3}f(x)$。这表明自变量每向右平移 2 个单位，函数值整体缩小为原来的 $\frac{1}{3}$。
2. 求 $n=1$ 时区间 $[0,2)$ 上的最大值 $a_1$：在 $x\in [0,2)$ 上，$f(x)=-(x-1{)}^2+1$，最大值为 $f(1)=1$。
3. 推导 $a_n$ 的通项：根据缩放递推关系，在每个长度为 2 的连续区间上，最大值构成公比为 $q=\frac{1}{3}$ 的等比数列。
4. 利用无穷等比数列求和公式 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$ 计算极限。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件，当 $x⩾0$ 时： $f(x)=3f(x+2)⟹f(x+2)=\frac{1}{3}f(x)$

• 当 $n=1$ 时，自变量区间为 $[0,2)$， 函数表达式为 $f(x)=-x^2+2x=-(x-1{)}^2+1$。 当 $x=1\in [0,2)$ 时，函数取得最大值： $a_1=1$
• 当 $x\in [2n-2,2n)$ 时，令 $t=x-2\in [2n-4,2n-2)$， 由 $f(x)=f(t+2)=\frac{1}{3}f(t)$， 所以函数 $f(x)$ 在区间 $[2n-2,2n)$ 上的最大值满足递推关系： $a_n=\frac{1}{3}{a}_{n-1}(n⩾2)$ 因此，数列 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=1$、公比 $q=\frac{1}{3}$ 的等比数列。 其前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1\cdot \left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]$ 因为 $\left|\frac{1}{3}\right|<1$，当 $n\to \infty$ 时，${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$， 所以： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{3}{2}(1-0)=\frac{3}{2}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数递推式的自相似收缩性质、二次函数闭/半开区间顶点极值、无穷递缩等比数列求和极限。
• 核心方法：
• 变量平移法：将递推式改写为 $f(x+2)=\frac{1}{3}f(x)$，直接确定极值的等比公比；
• 无穷等比级数公式：${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$。
• 避坑指南：递推式为 $f(x)=3f(x+2)$，切勿看反误以为每一步放大 3 倍（公比变成 3 会导致级数发散）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：几何分形与动力系统中具有衰减尺度的自相似函数，常作为高三数列与函数结合的综合考题。
• 结论推广：若 $f(x+T)=\lambda f(x)(0<|\lambda |<1)$，则函数在各周期区间上的极值、积分及特征量均构成公比为 $\lambda$ 的等比数列，全域无穷和满足 $\frac{1}{1-\lambda }$ 放大因子。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1990-全国卷理-25 解-椭圆与最值
• 2001-豫粤卷-10 单-抛物线的代数方程与几何性质
• 2002-上海卷理-19 解-二次函数在闭区间上的最值