2011-四川卷理-12 单-向量坐标

本题导读

本题考查平面向量的坐标表示与几何意义，以及向量构成的平行四边形面积。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 在集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 中任取一个偶数 $a$ 和一个奇数 $b$ 构成以原点为起点的向量 $\mathbf{\alpha }=(a,b)$.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 $n$，其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 $m$，则 $\frac{m}{n}=$ ()

A. $\frac{4}{15}$　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　C. $\frac{2}{5}$　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定所有可能的向量 $\mathbf{\alpha }=(a,b)$：

• 偶数集合为 $\{2,4\}$（共 2 个）；
• 奇数集合为 $\{1,3,5\}$（共 3 个）；
• 构成不同向量的种数为 $2\times 3=6$ 个。

2. 计算总的平行四边形个数 $n$：

• 任意两向量不共线（因各向量斜率 $\frac{b}{a}$ 互不相同），任选两个向量即可构成一个平行四边形，总组合数为 $n={\text{C}}_6^2=15$。

3. 计算两向量 ${\mathbf{\alpha }}_1=(a_1,b_1),{\mathbf{\alpha }}_2=(a_2,b_2)$ 张成的平行四边形面积：

• 面积公式为 $S=|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$；
• 穷举这 15 组向量对的面积，统计满足 $S⩽4$ 的对数 $m$。

4. 计算比值 $\frac{m}{n}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

在集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 中： 偶数有 2 个：2, 4； 奇数有 3 个：1, 3, 5。 以偶数为横坐标 $a$、奇数为纵坐标 $b$ 构成的不同向量共有 $2\times 3=6$ 个，分别为： ${\mathbf{v}}_1=(2,1),{\mathbf{v}}_2=(2,3),{\mathbf{v}}_3=(2,5)$ ${\mathbf{v}}_4=(4,1),{\mathbf{v}}_5=(4,3),{\mathbf{v}}_6=(4,5)$ 容易验证，这 6 个向量的斜率分别为 $\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4}$，两两互不相等，因此任意两个向量均不共线。 从这 6 个向量中任选 2 个作为邻边作平行四边形，所能作出的平行四边形总个数为： $n={\text{C}}_6^2=\frac{6\times 5}{2}=15$

由两平面向量 $\mathbf{\alpha }=(x_1,y_1),\mathbf{\beta }=(x_2,y_2)$ 张成的平行四边形面积公式为： $S=|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ 依次计算所有 15 种组合的平行四边形面积：

1. 含 ${\mathbf{v}}_1(2,1)$：

• 与 ${\mathbf{v}}_2(2,3)$：$S=|2\times 3-1\times 2|=4⩽4$（符合）
• 与 ${\mathbf{v}}_3(2,5)$：$S=|2\times 5-1\times 2|=8>4$
• 与 ${\mathbf{v}}_4(4,1)$：$S=|2\times 1-1\times 4|=2⩽4$（符合）
• 与 ${\mathbf{v}}_5(4,3)$：$S=|2\times 3-1\times 4|=2⩽4$（符合）
• 与 ${\mathbf{v}}_6(4,5)$：$S=|2\times 5-1\times 4|=6>4$

2. 含 ${\mathbf{v}}_2(2,3)$（不含 ${\mathbf{v}}_1$）：

• 与 ${\mathbf{v}}_3(2,5)$：$S=|2\times 5-3\times 2|=4⩽4$（符合）
• 与 ${\mathbf{v}}_4(4,1)$：$S=|2\times 1-3\times 4|=10>4$
• 与 ${\mathbf{v}}_5(4,3)$：$S=|2\times 3-3\times 4|=6>4$
• 与 ${\mathbf{v}}_6(4,5)$：$S=|2\times 5-3\times 4|=2⩽4$（符合）

3. 含 ${\mathbf{v}}_3(2,5)$（不含 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$）：

• 与 ${\mathbf{v}}_4(4,1)$：$S=|2\times 1-5\times 4|=18>4$
• 与 ${\mathbf{v}}_5(4,3)$：$S=|2\times 3-5\times 4|=14>4$
• 与 ${\mathbf{v}}_6(4,5)$：$S=|2\times 5-5\times 4|=10>4$

4. 含 ${\mathbf{v}}_4(4,1)$（不含 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$）：

• 与 ${\mathbf{v}}_5(4,3)$：$S=|4\times 3-1\times 4|=8>4$
• 与 ${\mathbf{v}}_6(4,5)$：$S=|4\times 5-1\times 4|=16>4$

5. 含 ${\mathbf{v}}_5(4,3)$ 与 ${\mathbf{v}}_6(4,5)$：

• 与 ${\mathbf{v}}_6(4,5)$：$S=|4\times 5-3\times 4|=8>4$

满足面积 $S⩽4$ 的平行四边形共有 5 个，即： $m=5$ 因此： $\frac{m}{n}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：两向量构成平行四边形的面积行列式公式 $S=|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$、组合数计算。
• 核心方法：
• 面积公式秒杀：利用坐标交叉相乘之差的绝对值，计算量极小且不易出错；
• 有序穷举：按照下标次序分类展开，做到不重不漏。
• 避坑指南：
• “不超过 4”包含等于 4（即 $S⩽4$），不可将 $S=4$ 舍弃；
• 必须验证各向量互不共线，以确保任意两向量均能张成平行四边形。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：线性代数中二维外积与雅可比行列式（格林公式面积形式）在高中平面向量中的具象考查。
• 结论推广：在直角坐标系中，以原点为起点的向量 $\mathbf{a}=(x_1,y_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2)$ 所张成的三角形面积恒为 $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$，平行四边形面积恒为其 2 倍。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-18 解-均匀分组概率
• 2008-浙江卷文-19 解-摸球古典概型
• 2009-江苏卷-05 填-古典概型