2008-浙江卷文-19 解-摸球古典概型

本题导读

本题是摸球古典概型：先由”摸出黑球概率 $\frac{2}{5}$“定黑球数 $b=4$；第(1)问直接组合计数，第(2)问用”至少 $1$ 白球”的对立事件列方程求白球数。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有 $10$ 个球，从中任意摸出 $1$ 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$；从中任意摸出 $2$ 个球，至少得到 $1$ 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$. 求：

(1)从中任意摸出 $2$ 个球，得到的 $2$ 个球都是黑球的概率；

(2)袋中白球的个数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设黑、白、红球数分别为 $b,w,r$，由 $b+w+r=10$ 与 $\frac{b}{10}=\frac{2}{5}$ 得 $b=4$，$w+r=6$。
2. (1) 都是黑球：$P=\frac{{\mathrm{C}}_4^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}$。
3. (2) “至少 $1$ 白球”的对立事件是”无白球”，由 $\frac{{\mathrm{C}}_{10-w}^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=1-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}$ 解 $w$。

✅【答案】

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(1)$\frac{2}{15}$；(2)$5$ 个

✍【详细解析】

Abstract

设袋中黑球、白球、红球的个数分别为 $b$，$w$，$r$。由题意 $b+w+r=10$，且 $\frac{b}{10}=\frac{2}{5}$，所以 $b=4$，从而 $w+r=6$。 (1)从 $10$ 个球中任意摸出 $2$ 个球，共有 ${\mathrm{C}}_{10}^2$ 种等可能结果。摸出的 $2$ 个球都是黑球的结果有 ${\mathrm{C}}_4^2$ 种，所以所求概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_4^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$。 (2)摸出的 $2$ 个球至少有 $1$ 个白球的对立事件是没有摸到白球，因此 $P(\text{没有白球})=1-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}$。 没有白球时，只能从 $10-w$ 个非白球中摸出 $2$ 个，所以 $\frac{{\mathrm{C}}_{10-w}^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{2}{9}$，即 ${\mathrm{C}}_{10-w}^2=10$。 于是 $\frac{(10-w)(9-w)}{2}=10$，即 $(10-w)(9-w)=20$，即 $w^2-19w+70=0$，解得 $w=5$ 或 $w=14$。 由于 $0⩽w⩽10$，故 $w=5$。所以袋中白球有 $5$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与对立事件

核心方法：组合计数，对立事件求”至少”

避坑指南：黑球数 $b=4$ 由 $\frac{b}{10}=\frac{2}{5}$ 定；第(2)问解出 $w=14$ 要舍去（超总数 $10$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 福建卷文第 18 题、2010 江苏卷第 3 题同考摸球古典概型。

结论推广：摸球等可能结果用组合数 ${\mathrm{C}}_n^m$ 计数。

方法推广：“至少”类问题优先用对立事件，解出的个数要检验是否在合法范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-17 填-古典概型
• 2009-福建卷文-18 解-古典概型摸球
• 2010-江苏卷-03 填-摸球古典概型
• 2011-浙江卷文-08 单-古典概型至少