2011-大纲卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查共轭复数的概念，以及复数的代数四则运算。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 复数 $z=1+\mathrm{i}$，$\overline{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $z\overline{z}-z-1=$ ()

A. $-2\mathrm{i}$　　　　　　　B. $-\mathrm{i}$　　　　　　　C. $\mathrm{i}$　　　　　　　D. $2\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $z=1+\mathrm{i}$ 得到其共轭复数 $\overline{z}=1-\mathrm{i}$。
2. 计算模长平方 $z\overline{z}=|z{|}^2$。
3. 将 $z$ 和 $\overline{z}$ 代入表达式合并实部与虚部。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z=1+\mathrm{i}$，所以 $\overline{z}=1-\mathrm{i}$。 则 $z\overline{z}=(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=1^2-{\mathrm{i}}^2=1-(-1)=2$。 所以： $z\overline{z}-z-1=2-(1+\mathrm{i})-1=-\mathrm{i}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：共轭复数定义 $a+b\mathrm{i}\leftrightarrow a-b\mathrm{i}$ 及模长平方关系 $z\overline{z}=a^2+b^2$。
• 核心方法：先算模方再整式化简。
• 避坑指南：去括号时注意负号分配，$-(1+\mathrm{i})=-1-\mathrm{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于教材基础复数运算，考查复数乘法的几何与代数基本性质。
• 结论推广：对任意复数 $z=x+y\mathrm{i}$，恒有 $z\overline{z}-z-1=(x^2+y^2-x-1)-y\mathrm{i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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