2011-大纲卷理-07 单-几何概型

本题导读

本题考查排列与组合，以及分组分配问题。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有 ()

A. 4 种　　　　　B. 10 种　　　　　C. 18 种　　　　　D. 20 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 5 本册子分为两类：画册 2 本，集邮册 3 本，同类册子无区别。
2. 从中取 4 本，有两种构成情况：（1）1 本画册，3 本集邮册；（2）2 本画册，2 本集邮册。
3. 对每种构成情况，分别计算将其分给 4 位不同朋友的方法数。
4. 将所有情况的方法数相加。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

取出 4 本册子的构成情况有以下两种： 情况一：取出 1 本画册，3 本集邮册。 因为 3 本集邮册完全相同，只需从 4 位朋友中选出 1 位赠送画册，其余 3 位赠送集邮册。 赠送方法数为 ${\mathrm{C}}_4^1=4$ 种。 情况二：取出 2 本画册，2 本集邮册。 只需从 4 位朋友中选出 2 位赠送画册，其余 2 位赠送集邮册。 赠送方法数为 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。 根据分类加法计数原理，总的赠送方法共有： $4+6=10$ 种。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：含相同元素的排列问题。
• 核心方法：先选（组合构成）后排（分配位置）。由于部分元素相同，排列等价于为数量较少的物品选主人。
• 避坑指南：必须注意“同样”二字，同种物品全排列去重，切忌当成 5 件不同物品使用 $A_5^4$ 或 $C_5^4$ 计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：基础的含重集排列（多重集排列）问题。
• 结论推广：将 $n$ 个对象（其中包含若干类完全相同的对象，第 $i$ 类有 $n_i$ 个，$\sum n_i=n$）分给 $n$ 个人，方法数为 $\frac{n!}{n_1!n_2!\dots }$。本题先提取 4 个对象组成重集，再套用公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.04 分配问题

类题演练 (Links)

• 2002-北京卷理-09 单-排列与组合
• 1981-全国卷理-02
• 1990-全国卷理-13 单-排列计数