2011-大纲卷理-17 解-两角和

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.已知 $A-C=90^{\circ }$，$a+c=\sqrt{2}b$，求 $C$.

🔍【思路分析】

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1. 利用正弦定理将条件 $a+c=\sqrt{2}b$ 转化为角的正弦关系：$\sin A+\sin C=\sqrt{2}\sin B$。
2. 由三角形内角和定理得 $B=180^{\circ }-(A+C)$，所以 $\sin B=\sin (A+C)$。
3. 利用已知条件 $A=C+90^{\circ }$，代入诱导公式化简 $\sin A=\cos C$，$\sin (A+C)=\cos 2C$。
4. 化为关于角 $C$ 的单角三角函数方程，利用辅助角公式或二倍角公式求解锐角 $C$。

✅【答案】

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因此3𝐶= 45∘，故𝐶= 15∘

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$， 将已知条件 $a+c=\sqrt{2}b$ 化为：

$$\sin A+\sin C=\sqrt{2}\sin B.$$

因为 $A+B+C=180^{\circ }$， 所以 $B=180^{\circ }-(A+C)$， 从而 $\sin B=\sin (A+C)$。 代入得：

$$\sin A+\sin C=\sqrt{2}\sin (A+C).$$

由 $A-C=90^{\circ }$ 得 $A=90^{\circ }+C$。 代入上式中：

$$\sin (90^{\circ }+C)+\sin C=\sqrt{2}\sin (90^{\circ }+2C).$$

由诱导公式知 $\sin (90^{\circ }+C)=\cos C$，$\sin (90^{\circ }+2C)=\cos 2C$， 故有：

$$\cos C+\sin C=\sqrt{2}\cos 2C.$$

左边利用辅助角公式变形，右边利用倍角公式展开：

$$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos C+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin C\right)=\sqrt{2}({\cos }^{2}C-{\sin }^{2}C),$$

即

$$\sqrt{2}\cos \left(C-45^{\circ }\right)=\sqrt{2}(\cos C-\sin C)(\cos C+\sin C),$$

两边同除以 $\sqrt{2}$ 得：

$$\cos C+\sin C=\sqrt{2}(\cos C-\sin C)(\cos C+\sin C).$$

因为在 $△ABC$ 中，$A=90^{\circ }+C>90^{\circ }$，且 $A+C<180^{\circ }$， 所以 $90^{\circ }+2C<180^{\circ }⟹0^{\circ }<C<45^{\circ }$。 当 $0^{\circ }<C<45^{\circ }$ 时，$\cos C>0$ 且 $\sin C>0$，故 $\cos C+\sin C>0$。 两边同除以 $\cos C+\sin C$，得：

$$1=\sqrt{2}(\cos C-\sin C),$$

即

$$\cos C-\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

左边逆用两角和的正弦公式变形：

$$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos C-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin C\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹\cos \left(C+45^{\circ }\right)=\frac{1}{2}.$$

因为 $0^{\circ }<C<45^{\circ }$，所以 $45^{\circ }<C+45^{\circ }<90^{\circ }$。 因此：

$$C+45^{\circ }=60^{\circ }⟹C=15^{\circ }.$$

（或表示为弧度制 $C=\frac{\pi }{12}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理的“角化边”与“边化角”；诱导公式 $\sin (90^{\circ }+\theta )=\cos \theta$；二倍角及辅助角变换。
• 核心方法：
• 边化角消去线段长度；
• 充分挖掘三角形内角和对角范围的限制（$A=90^{\circ }+C⟹0<C<45^{\circ }$）。
• 避坑指南：
• 在方程两边同除以 $\cos C+\sin C$ 时，需证明其不为零；
• 由 $\cos (C+45^{\circ })=\frac{1}{2}$ 求解时，务必根据 $C$ 的取值范围舍去钝角解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于教材课后“正弦定理与和差化积”综合变形题。
• 结论推广：对任意 $△ABC$，若 $A-C=90^{\circ }$，则恒有 $a^2-c^2=b^2\cdot \frac{\cos (A+C)}{-\cos B}$ 等射影几何关联；若设 $a+c=kb$，可得一般关系式 $\cos (C+45^{\circ })=\frac{1}{k}$（$k>1$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2022-新高考I卷-18 解-解三角形
• 2006-湖南卷理-16 解-正弦定理的应用
• 2007-北京卷理-11 填-三角形内角定理