2012-大纲卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查三角形内角和定理与诱导公式。核心在于三角法、联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\cos (A-C)+\cos B=1$，$a=2c$，求 $C$.

🔍【思路分析】

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1. 消元转化角 $B$：在 $△ABC$ 中，由内角和定理 $A+B+C=\pi$ 可得 $B=\pi -(A+C)$。利用诱导公式可将 $\cos B$ 转化为 $-\cos (A+C)$。
2. 运用和差公式展开化简：将 $\cos (A-C)-\cos (A+C)=1$ 利用两角和与差的余弦公式展开，消去相同项，合并同类项，提炼出 $\sin A\sin C$ 的代数结果。
3. 引入正弦定理边角互化：已知边长条件 $a=2c$，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，可直接将边长等式等价转换为对应的正弦比例式 $\sin A=2\sin C$。
4. 方程联立锁定目标角：将两组关于 $\sin A,\sin C$ 的关系式进行代入消元，解出 ${\sin }^{2}C$ 的值，再结合大边对大角等几何约束，最终唯一确定内角 $C$ 的大小。

✅【答案】

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$C=\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 在 $△ABC$ 中，由三角形内角和定理可得： $A+B+C=\pi ⟹B=\pi -(A+C)$

根据三角函数的诱导公式，对其求余弦值： $\cos B=\cos [\pi -(A+C)]=-\cos (A+C)$

将上式代入已知条件 $\cos (A-C)+\cos B=1$ 中，变形得： $\cos (A-C)-\cos (A+C)=1$

根据两角和与差的余弦公式分别展开： $\cos (A-C)=\cos A\cos C+\sin A\sin C$ $\cos (A+C)=\cos A\cos C-\sin A\sin C$

两式相减： $(\cos A\cos C+\sin A\sin C)-(\cos A\cos C-\sin A\sin C)=1$ $2\sin A\sin C=1$ 由此求得两个内角的正弦乘积关系式： $\sin A\sin C=\frac{1}{2}\text{(1)}$

又因为已知边长满足关系： $a=2c$ 根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，将边长比例关系等价转化为对应内角的正弦值关系： $\sin A=2\sin C\text{(2)}$

将②式代入①式中进行消元： $(2\sin C)\cdot \sin C=\frac{1}{2}⟹2{\sin }^{2}C=\frac{1}{2}$ ${\sin }^{2}C=\frac{1}{4}$

因为 $C$ 为 $△ABC$ 的内角，即 $C\in (0,\pi )$，在此范围内正弦值恒大于 0（$\sin C>0$）。 对上式两边开平方取正根可得： $\sin C=\frac{1}{2}$

因为 $\sin C=\frac{1}{2}$，在 $(0,\pi )$ 范围内对应的特殊角有 $\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$。 根据已知条件： $a=2c⟹a>c$ 根据三角形中“大边对大角”的几何定则，边长越大对应的内角就越大，故必然满足： $A>C$

若 $C=\frac{5\pi }{6}$： 由于 $A+C<\pi$，则 $A<\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，此时 $A<C$，与大边对大角结论 $A>C$ 发生严重矛盾，故舍去。

因此，内角 $C$ 的大小只能为： $C=\frac{\pi }{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形内角和诱导公式转化、两角和差余弦公式的逆向或正向合并、正弦定理在边角互化中的核心应用。
2. 核心方法：边角互化与方程组法。在解三角形中，若条件中同时出现边长齐次多项式与三角函数式，通常利用正弦定理将边全部化为对应角的正弦值，使整个方程组统一在角的维度进行多项式级联。
3. 避坑指南：

• 忘进行增根舍项判断：求出 $\sin C=\frac{1}{2}$ 后，很多考生容易直接写出 $C=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$ 两个并列答案。切记必须回到边长条件 $a=2c⟹A>C$ 处进行多角度逻辑约束比对，将钝角增根精确舍去。
• 差之差展开符号错漏：在展开 $(\cos A\cos C+\sin A\sin C)-(\cos A\cos C-\sin A\sin C)$ 时，容易由于括号去调时的负负得正粗心，误算成消去 $\sin A\sin C$ 留下 $2\cos A\cos C=1$ 的错误前置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中正弦定理与余弦定理的配套章末综合大题。属于高考考查解三角形解答题的第一问标准常规经典题。
2. 结论推广:

• 解三角形和差方程通用模型：若在任意 $△ABC$ 中，已知满足三角线性方程： $\cos (A-C)+\cos B=m$ （其中 $B$ 通过内角和消元展开等价于 $2\sin A\sin C=m$）。
• 且已知两对边具有明确的比例系数满足： $a=\lambda c(\lambda >0)$。
• 将其通过正弦定理统一化为 $\sin A=\lambda \sin C$，两式代入消元，可推导得出求解目标角 $C$ 正弦值的一般化通用推广公式： $\sin C=\sqrt{\frac{m}{2\lambda }}$
• 本题中 $m=1,\lambda =2$，直接套用推广通式速算： $\sin C=\sqrt{\frac{1}{2\times 2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。掌握此推广结构模型，在处理任何同类边角混合求值大题时，均能直接跳过长达半页的展开与代回过程，一步锁定正弦值的核心精确解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 10.01 两角和与差及辅助角公式 类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II理-17 解-解三角形

• 2011-大纲卷理-17 解-两角和

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