2011-天津卷文-20 解-奇偶递推数列与放缩

本题导读

本题考查数列的递推关系，以及等比数列的证明。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 满足：$b_{n+1}{a}_n+b_n{a}_{n+1}=(-2{)}^n+1$，$b_n=\frac{3+(-1{)}^{n-1}}{2}$，$n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$，且 $a_1=2$.

(1) 求 $a_2$，$a_3$ 的值；

(2) 设 $c_n=a_{2n+1}-a_{2n-1}$，$n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$，证明：数列 $\{c_n\}$ 是等比数列；

(3) 设 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，证明：$\frac{S_1}{a_1}+\frac{S_2}{a_2}+\cdots +\frac{S_{2n-1}}{a_{2n-1}}+\frac{S_{2n}}{a_{2n}}⩽n-\frac{1}{3}$（$n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 逐项递推
2. 步骤2：(2) 对 $n=2k-1,2k$ 两式相减得 $c_k=6\cdot 4^{k-1}$
3. 步骤3：(3) 求出 $a_{2k-1},a_{2k}$ 与 $S_{2k-1},S_{2k}$
4. 步骤4：逐对估计 $q_k⩽1$ 后求和放缩

✅【答案】

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(1) $a_2=-\frac{3}{2}$，$a_3=8$

(2) $\{c_n\}$ 是以 $4$ 为公比的等比数列，$c_n=6\cdot 4^{n-1}$

(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $b_1=2$，$b_2=1$，$b_3=2$。令 $n=1$：$a_1+2a_2=-1$，代入 $a_1=2$ 得 $a_2=-\frac{3}{2}$。令 $n=2$：$2a_2+a_3=5$，故 $a_3=8$。

(2) 对 $n=2k-1$：$b_{2k}=1$，$b_{2k-1}=2$，且 $(-2{)}^{2k-1}+1=1-2\cdot 4^{k-1}$，得

$a_{2k-1}+2a_{2k}=1-2\cdot 4^{k-1}$；

对 $n=2k$：$b_{2k+1}=2$，$b_{2k}=1$，且 $(-2{)}^{2k}+1=4^k+1$，得

$2a_{2k}+a_{2k+1}=4^k+1$。

两式相减：$c_k=a_{2k+1}-a_{2k-1}=4^k+2\cdot 4^{k-1}=6\cdot 4^{k-1}$。

故 $\frac{c_{k+1}}{c_k}=4$，$\{c_n\}$ 是以 $4$ 为公比、首项 $6$ 的等比数列。

(3) $a_{2k-1}=a_1+\sum _{j=1}^{k-1}{c}_j=2+6\cdot \frac{4^{k-1}-1}{3}=2\cdot 4^{k-1}$；再由 $a_{2k-1}+2a_{2k}=1-2\cdot 4^{k-1}$ 得 $a_{2k}=\frac{1-4^k}{2}$。

于是 $S_{2k-1}=\sum _{j=1}^{k}2\cdot 4^{j-1}+\sum _{j=1}^{k-1}\frac{1-4^j}{2}=\frac{2(4^k-1)}{3}+\frac{k-1}{2}-\frac{4^k-4}{6}=2\cdot 4^{k-1}+\frac{k-1}{2}$，

$S_{2k}=S_{2k-1}+a_{2k}=\frac{k}{2}$。

从而 $\frac{S_{2k-1}}{a_{2k-1}}=1+\frac{k-1}{4^k}$，$\frac{S_{2k}}{a_{2k}}=\frac{k}{1-4^k}=-\frac{k}{4^k-1}$。令

$q_k=\frac{S_{2k-1}}{a_{2k-1}}+\frac{S_{2k}}{a_{2k}}=1+\frac{k-1}{4^k}-\frac{k}{4^k-1}$。

由 $(k-1)(4^k-1)<k\cdot 4^k$ 得 $\frac{k-1}{4^k}<\frac{k}{4^k-1}$，故 $q_k<1$；又 $q_1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。

所以 $\sum _{k=1}^n{q}_k⩽\frac{2}{3}+(n-1)\cdot 1=n-\frac{1}{3}$，即原不等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶项分组的递推关系；等比数列的定义证明；逐对估计与累加放缩

核心方法：对 $n$ 分奇偶写出两条递推，相减得隔项等比；求和后按 $(2k-1,2k)$ 配对估计每对和的上界，再利用首对严格不等式收紧

避坑指南：$b_n$ 以 $2$ 为周期（$2,1,2,1,\cdots$），代错周期会全盘皆错；$a_{2k}$ 是负数，$\frac{S_{2k}}{a_{2k}}$ 为负值，$q_k<1$ 的放缩方向与等号位置（$k=1$ 才取 $q_1=\frac{2}{3}$）须交代清楚。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶递推数列与放缩题与 2012-上海卷文-14、2012-大纲卷文-18、2012-山东卷文-20 同族。

结论推广：推广：$b_{n+1}{a}_n+b_n{a}_{n+1}=f(n)$ 且 $b_n$ 为周期数列时，相邻两条递推相减常能消去公共项得隔项关系；放缩目标形如 $n-\frac{1}{3}$ 时，找一组精确值（$q_1=\frac{2}{3}$）配一般项上界 $1$ 是标准套路。

方法推广：压轴数列题：先用奇偶分组把混合递推拆成两条线性递推，通项与求和都按奇偶分别处理；最后的不等式用”逐项上界 + 首项精确”的累加结构证明。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.08 奇偶数列

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-14 填-递推数列与不动点
• 2012-大纲卷文-18 解-Sn型递推求通项
• 2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和