2012-大纲卷文-18 解-Sn型递推求通项

本题导读

本题考查与的关系。核心在于递推法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n+2}{3}{a}_n$.

(1)求 $a_2$，$a_3$;

(2)求 $\{a_n\}$ 的通项公式.（本小题满分 $12$ 分）

🔍【思路分析】

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相减得 $a_n=\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$（$n⩾2$），累乘裂项相消得 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$；$a_2=3$，$a_3=6$。

✅【答案】

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(1)$a_2=3$，$a_3=6$

(2)$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$n=2$：$S_2=a_1+a_2=\frac{4}{3}{a}_2$，故 $1+a_2=\frac{4}{3}{a}_2$，$a_2=3$。

$n=3$：$S_3=\frac{5}{3}{a}_3$，故 $1+3+a_3=\frac{5}{3}{a}_3$，$4=\frac{2}{3}{a}_3$，$a_3=6$。

（2）$n⩾2$ 时，$S_n=\frac{n+2}{3}{a}_n$，$S_{n-1}=\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}$，两式相减：

$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n+2}{3}{a}_n-\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}$，即 $\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}=\frac{n-1}{3}{a}_n$，

故 $a_n=\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$（$n⩾2$）。

累乘：$a_n=a_1\times \frac{3}{1}\times \frac{4}{2}\times \frac{5}{3}\times \frac{6}{4}\times \cdots \times \frac{n+1}{n-1}=\frac{n(n+1)}{1\times 2}=\frac{n(n+1)}{2}$（分子留下 $3\times 4\times \cdots \times (n+1)$ 中未被约去的 $n(n+1)$，分母留下 $1\times 2$）。

$n=1$ 时 $a_1=1=\frac{1\times 2}{2}$ 也成立，故 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 的互化；累乘法求通项

核心方法：相邻两条 $S$ 递推相减 → 化成商的递推 → 累乘约分 → 首项单独验证

避坑指南：相减得到的是 $\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}=\frac{n-1}{3}{a}_n$，移项时 $a_n$ 与 $a_{n-1}$ 的系数别抄反；累乘结果必须用 $n=1$、$2$ 回代验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源："$S_n=f(n)a_n$"型通项题，与 2012 年大纲卷文第 6 题、2013 年四川卷文第 16 题同族，是数列解答题的常规模型。

结论推广：一般地，$S_n=f(n)a_n$ 型：与 $S_{n-1}=f(n-1)a_{n-1}$ 相减得 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{f(n)-1}{f(n-1)}$，再累乘（或累商）。

方法推广：$S_n$ 型通项题：相减 → 化商 → 累乘约分 → 首项单独验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-16 解-等比数列基本量
• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和